RealesInfinito marzo2011

Los números reales y el infinito
Carlos Uzcátegui Aylwin
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias
Universidad de Los Andes
uzca@ula.ve
Versión: Marzo 2011

ii

Índice general
Prólogo

v

1. Los Números Racionales
1.1. Los enteros desde un punto de vista abstracto . .
1.1.1. Las propiedades algebraicas de los enteros
1.1.2. Propiedades de la suma . . . . . . . . . .
1.1.3. Propiedades dela multiplicación . . . . . .
1.1.4. Propiedades del orden . . . . . . . . . . .
1.2. Los números racionales . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. La ecuación ax + b = c . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. El orden en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Subconjuntos densos de Q . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. El juego ∀ ∃ . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Un ejemplo de subconjuntodenso de Q . .

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2. LosNúmeros Reales
2.1. Las propiedades básicas de R
2.2. La ecuación x2 − 2 = 0 . . . .
2.3. El axioma de completitud . .
2.4. La propiedad Arquimediana .
2.5. Incompletitud de Q . . . . . .
2.6. La ecuación x2 = a . . . . . .
2.7. La ecuación xn = a . . . . . .
2.8. Los números irracionales . . .
2.9. Q es denso en R . . . . . . . .
2.10. Subconjuntos densos de R . .
2.11. Propiedades del supremo ydel

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ínfimo

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3. Relaciones
3.1. El producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Algunas propiedades del producto cartesiano
3.2.Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Relaciones reflexivas, simétricas y transitivas . . . .
3.4. Grafos y Digrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Aplicaciones de los grafos . . . . . . . . . . . . . .
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ÍNDICE GENERAL

iv

3.5.1. El problema de los puentes de Königsberg . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2. El problema “Agua, Luz y Teléfono” . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3. El problema de los cuatro colores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Funciones
4.1. El concepto de función como relación . . . . . . . . . .
4.1.1. Representación gráfica de funciones . . . . .. .
4.1.2. Funciones por partes y funciones características
4.2. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas . . . . .
4.2.1. Funciones inyectivas . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Funciones sobreyectivas . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3. Funciones biyectivas . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. La función inversa . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
4.5. La imagen y la preimagen de un conjunto . . . . . . . .

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5. Cardinalidad
5.1. Conjuntos finitos y métodos de conteo . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Cardinalidad del conjunto potencia . . . . . . . . . . . .
5.1.2. Cardinalidad del producto Cartesiano . . ....