Realimentación

REALIMENTACIÓN DE ESTADOS

I. PROCEDIMIENTO GENERAL
se analiza el comportamiento de la acción de control para un sistema de péndulo invertido. El
primer paso, es considerar las ecuaciones que describen el sistema. Para ello, se toma como
referencia el análisis de la dinámica del péndulo que se describe en las guías de laboratorio, y
que se muestra a continuación, junto con los valores delas constantes incluidas en el modelo
matemático:
=
∝

=

∝

∝

∝

∝

∝
∝

∝

∝

∝

∝

∝

Donde,

Valores para las constantes del sistema.
Una consideración adicional que se establece es el hecho de que la entrada al sistema real,
hablando en términos de la implementación física, es un voltaje aplicado al motor, que permite el
movimiento del carro que lleva elpéndulo y por ende, un movimiento de éste último, que busca
satisfacer los requerimientos del diseño. Entonces, la fuerza Fc que figura en la fórmula, será
reemplazada por la siguiente función, que deja dicha fuerza en términos del voltaje que se aplica
al motor:

Como se puede observar, el modelo en ecuaciones diferenciales corresponde a un sistema no
lineal, luego, es necesario recurrir a losmétodos de linealización conocidos para la teoría de
control, con el fin de obtener una representación en espacio de estados que describa la dinámica
del sistema, en torno a un punto definido.

El proceso de linealización, se lleva a cabo mediante un Script en MATLAB. A continuación se
muestra el código empleado para la linealización del sistema, y en él, se incluyen comentarios en
lassecciones que tienen los símbolos %, con el fin de describir cada grupo de comandos:
%%
%Linealización sistema del Péndulo Invertido
% Declaración de variables de tipo simbólicas
%z1 corresponde a la derivada de x; z2 a la variable x; z3 a la derivada de alpha; z4 a la variable
alpha
syms z1 z2 z3 z4 V;
%%
% Parámetros del péndulo invertido. Constantes del sistema
Mp = 0.230;
lp = 0.3302;
Lp =0.6413;
Mc = 9.81;
g = 1.0731;
Ip = 7.88e-3;
Bp = 0.0024;
Beq = 5.4;
%%
% Funciones que describen la dinámica del sistema. Estas funciones corresponden a las mismas
ecuaciones descritas en la sección anterior y que fueron tomadas de las guías de laboratorio.
Estas funciones incluyen la consideración de la fuerza Fc en términos de V.
f1 =(-(Ip+Mp*lp^2)*Beq*z1-(Mp^2*lp^3+Ip*Mp*lp)*sin(z4)*z3^2Mp*lp*cos(z4)*Bp*z3+(Ip+Mp*lp^2)*((21889*V/12700)+(8695959967430487*z1/115292150406846976))+Mp^2
*lp^2*g*cos(z4)*sin(z4))/((Mp+Mc)*Ip+Mc*Mp*lp^2+Mp^2*lp^2*(sin(z4))^2);
f2 = z1;
f3 = ((Mc+Mp)*Mp*g*lp*sin(z4)-(Mc+Mp)*Bp*z3-Mp^2*lp^2*sin(z4)*cos(z4)*z3^2Mp*lp*cos(z4)*Beq*z1+((21889*V/12700)+(8695959967430487*z1/115292150406846976))*Mp*lp*cos(z4))/((Mp+Mc)*Ip+Mc*Mp*lp^2+Mp^2*lp^2*(sin(z4))^2);
f4 = z3;
%%
% Espacio vectorial del sistema.
f = [f1;f2;f3;f4];
z = [z1;z2;z3;z4];
%%
%Linealización y representación en espacio de estados.
A = jacobian(f,z); %Matriz A
z1 = 0;
z2 = 0;
z3 = 0;
z4 = 0;
A = eval(A);
A = double(A);
B = jacobian(f,V); %Matriz B

B = eval(B);
B = double(B);
C = [1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1]; %Matriz C
D = [0;0;0;0]; %Matriz D

Larepresentación en espacio de estados para el sistema linealizado, queda de la siguiente forma:

Y la representación matricial de la salida del sistema es:

Con el fin de establecer un punto de comparación del modelo no lineal con la linealización
llevada a cabo, es necesario obtener una representación en diagramas de bloques de ambos
sistemas. Para el caso del sistema linealizado, se emplea elbloque de State-Space, obteniendo el
siguiente diagrama de bloques:

Diagrama de bloques para el sistema linealizado.
Para el sistema real, es necesario encontrar una forma de representar las ecuaciones del
comportamiento dinámico. Por ello, se emplea la siguiente función declarada en MATLAB, que
permite obtener el vector de derivadas de los estados del sistema. Ficha función se muestra a...