Realimentacion de estados

Tarea 3 - Control
Cristian Leonardo Ter´n Ramirez a

1. Realimentaci´n de Estado o
1.1. Desarrolle el modelo en variables de estado del sistema tomado X1 como la velocidad del sistema y X2 como el torque del motor

Figura 1: Funci´n de Transferencia del Motor o Al visualizar la figura 1 se puede apreciar que la representaci´n en variables de estado solicitada se logra a trav´s o e de unadescomposici´n en serie, para lo cual se utilizan las siguientes expresiones: o 0,833 X2 (S) = U (S) S+1 X1 (S) 40 = X2 (S) 3S + 1 40 −1 ˙ X1 (s) + X2 (S) X1 (S) = 3 3 ˙ X2 (S) = −X2 (s) + 0,833U (S)

˙ X1 ˙ X2

=

−0,33 0

13,33 −1

X1 X2

+

0 0,833

U

Y =

1

0

X1 X2

De las anteriores expresiones se puede inferir el valor de las matrices A, B, C y D = 0.

1.2.Comente sobre la estabilidad del sistema en lazo abierto. Cual es la constante de tiempo de este sistema?

Para determinar si el sistema anterior es estable, se debe encontrar los valores propios de la matriz A y verificar que tengan parte real negativa. det(SI − A) = (S + 0,3333)(S + 1) Puesto que las ra´ ıces del polinomio anterior se encuentran en el semiplano complejo izquierdo, se puede afirmarque el sistema es estable. Como el sistema posee dos ra´ ıces distintas, se puede afirmar que la constante de tiempo es aquella dada por el polo m´s dominante, en este caso la constante de tiempo del sistema es de 3 segundos. a

1

1.3.

Dise˜e un controlador (est´tico) de retro-alimentaci´n de variables de estado tal que el n a o sistema en lazo cerrado sea cr´ ıticamente amortiguado ytenga constante de tiempo igual a la mitad del valor obtenido para el sistema en lazo abierto. Cual es la funci´n caracter´ o ıstica deseada? Encuentre la matriz K que ubique los polos seg´n el polinomio caracter´ u ıstico deseado. Encuentre el pre-filtro f

Para dise˜ar el controlador requerido, se debe determinar inicialmente el polinomio caracter´ n ıstico deseado. Como se requiere que laconstante de tiempo del sistema sea de 1.5 segundos y tambi´n se requiere de un sistema cr´ e ıticamente amortiguado, el polinomio caracter´ ıstico deseado tiene la forma αc = s2 + 4 s + 4 . Con esto presente, ahora se requiere 3 9 partir de la representaci´n en variables de estado del sistema en lazo cerrado: o S + 0,3333 0,833K1 −13,3333 S + 1 + 0,833K2 4 1 0,833 40 = s2 + ( + 0,833k2 )s + + k2 + 0,833k1 3 3 3 3

det(SI − A + BK) =

De donde finalmente se obtiene: K= 0,01 0

Para finalizar esta etapa, se debe calcular el valor del pre-filtro F con el fin de dar soluci´n al problema de servoo control, para ello se utiliza la expresi´n: o F = 1 C(−A + BK)−1 B

a partir de la cual se encuentra que el valor de F = 0,04.

1.4.

Verifique sus respuesta utilizando Matlab y simule el sistema enlazo cerrado

Al utilizar Matlab para verificar las respuestas, se utiliz´ el comando rlocus para graficar el lugar geom´trico de las o e ra´ ıces. En la figura 2 se puede apreciar que el sistema es aproximadamente cr´ ıticamente amortiguado con una constante de tiempo de 1.5 segundos. En la figura 3 se observa el comportamiento frente a un escal´n para el sistema de lazo o cerrado.

Figura 2: LGRpara el Motor Figura 3: Respuesta al Escal´n para el Motor o

2

1.5.

Ahora dise˜e un controlador PI vectorial. Simule el sistema en lazo cerrado y comente cual n estrategia es mejor

Para dise˜ar el controlador PI vectorial, basta con encontrar el polinomio caracter´ n ıstico del sistema en lazo cerrado incluyendo el integrador adicional y el estado adicional: A − BK −C −Bki 0

˜ P(S) = det(SI − A) Al sustituir los valores ya conocidos, se obtiene:

˜ A=

4 0,833 40 40 P (s) = s3 + ( + 0,833k2 )s2 + ( k2 + 0,833 k1 )s − 0,833 ki 3 3 3 3 El polinomio deseado para este caso debe tener un comportamiento similar al polinomio del caso anterior, sin embargo se debe agregar otro polo el cual no debe afectar la din´mica del sistema, por lo que se har´ 5 veces mas lejano: a a 4...