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1-Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea, a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos. Noexiste un sólo tipo de geometría no euclídea, sino muchos, aunque si se restringe la discusión a espacios homogéneos, en los que la curvatura del espacio la misma en cada punto, en los que los puntosdel espacio son indistinguibles pueden distinguirse tres tipos de geometrías:
* La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero.
* La geometríahiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa.
* La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvaturapositiva.

Gauss al igual que el ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856), y el húngaro János Bolyai (1802-1860), crearon independientemente las geometrías no euclidianas. Gauss se adelantó en eltiempo a los otros matemáticos, pero no publicó sus resultados.
Carl Friedrich Gauss nació en 1777 en la ciudad alemana de Brunswick, y se educó en la Universidad de Göttingen. Gauss produjoresultados del más alto nivel en casi todos los campos de las matemáticas puras y aplicadas. Su trabajo le valió el título de "Príncipe de los matemáticos'', y es considerado uno de los más grandesmatemáticos de la historia.
Los esfuerzos de Gauss en la geometría no euclidiana empezaron desde 1792, cuando tenía 15 años, cuando le habría dicho a su amigo Schumacher que tenía la idea de una geometríaválida sin el quinto postulado euclidiano. No obstante Gauss pasó varios años tratando de deducir el postulado a partir de otros.
En 1799 Gauss le escribió una carta al matemático húngaro Wolfgang FarkasBolyai (1775-1856) en la que le expresaba su opinión: no se podía deducir el quinto postulado de los otros postulados euclidianos, y empezó a prestarle mucho cuidado a la existencia de geometrías...