Rec Y Pla

´
Algebra
Lineal

UCR

Quinto tema, 2015

Presentaciones basadas principalmente en Arce,C, Castillo,W y
´
Gonz´alez, J. (2004) Algebra
lineal. Tercera edici´
on. UCR. San
Pedro. Otras fuentes ser´an mencionadas cuando corresponda. En
general el autor no clama que el contenido del documento sea
original, sino solamente su presentaci´
on. Se permite el uso de este
documento, siempre y cuando nosea por fines de lucro y se cite la
fuente.

TEMA
Rectas y planos

Rectas

Notemos que solamente necesitamos dos elementos para definir
una recta.

Definici´on

−
Se le llama recta que contiene al punto P en la direcci´on de →
v,y
→
−
se denota (P, v ), al conjunto de puntos
−
{X ∈ Rn /X = P + t →
v para alg´
un t ∈ R}.
−
La notaci´on X = P + t →
v se llama ecuaci´
on vectorial de la recta
−
(P,→
v ).

Ejemplo
Calculemos la recta que contiene los puntos
(1, 2, 3, 4), (−1, 0, 2, 4).

Ejercicio
Calculemos la recta que contiene los puntos
(1, 1, 0, −8), (2, 0, 2, −3).
Calculemos la recta que contiene el punto (0, 0, 0, 0, 0) y el vector
(9, 7, −1, 0, 1).

Definici´on

−
−
−
−
u ,→
v son paralelos,
Dos rectas 1 (P, →
v ), 2 (Q, →
u ) son paralelas si →
→
−
→
−
y son perpendiculares si v , uson perpendiculares.

Ejercicio
Calcule la recta que pasa por (0, 4, 9), (5, 0, 1). Encuentre una
recta paralela a que pase por (1, 1, 1), una recta paralela a
diferente de la anterior (nota: hay infinitas rectas que lo cumplan),
una recta perpendicular a que pase por (1, 1, 1), y una recta
perpendicular a diferente de la anterior (nota: hay infinitas rectas
que lo cumplan).

Nota
Note que dosrectas perpendiculares no necesariamente se tocan.

Definici´on

−
Dada la ecuaci´on vectorial de una recta , X = P + t →
v , sea
→
−
X = (x, y , z), P = (p1 , p2 , p3 ), v = (v1 , v2 , v3 ), la ecuaci´on
param´etrica de la recta es:


x = p1 + tv1
y = p2 + tv2


z = p3 + tv3

Definici´on
Despejando t en la definici´
on anterior obtenemos la ecuaci´on
sim´etrica de la recta .
t=

x − p1
y − p2
z− p3
=
=
.
v1
v2
v3

Ejercicio
Dada la siguiente ecuaci´
on sim´etrica de la recta , encuentre tres
puntos que pertenezcan a la recta, un vector que se encuentre en
la direcci´on de la recta y un vector perpendicular a la recta.
Posteriormente encuentre las ecuaciones vectoriales y param´etricas
correspondientes a .
y −2
z −3
x −1
=
=
.
7
2
−3

Planos

Necesitamos tres elementos para definir unplano.

Definici´on

−
−
Dado un punto P y dos vectores →
u ,→
v , no paralelos, se llama
−
−
plano que contiene a P en la direcci´
on de →
u ,→
v al conjunto
−
−
{X ∈ Rn |X = P + t →
u + s→
v , con t, s ∈ R}
−
−
−
−
y se denota P(P, →
v ,→
u ). La notaci´
on X = P + t →
u + s→
v se llama
ecuaci´on vectorial del plano.

Ejercicio
Dados los puntos (1, 1, 1), (0, −1, 2), (3, 4, 1), encuentre elplano
que los contiene.

Planos en R3
Notemos que en R3 basta con tener un punto y un vector
perpendicular al plano para definirlo.

Definici´on
Todos los puntos (x, y , z) de un plano que contenga al punto
−
P = (p1 , p2 , p3 ) y que sea perpendicular al vector →
n = (a, b, c), y
solamente estos, satisfacen que
ax + by + cz = d,
−
donde d = ap1 + bp2 + cp3 . Al vector →
n se le llama normal al
−plano, o se dice que el plano es normal a →
n . A esta forma de
denotar un plano se le llama ecuaci´
on normal.

Ejercicio
Dados los puntos (1, 1, 1), (0, −1, 2), (3, 4, 1), encuentre la
ecuaci´on normal del plano que los contiene.

Paralelos y perpendiculares

Definici´on
Dos planos en R3 son paralelos si sus vectores normales son
paralelos.
Dos planos en R3 son perpendiculares si sus vectoresnormales son
perpendiculares.
Una recta es paralela a un plano en R3 si su normal es
perpendicular a la recta.
Una recta es perpendicular a un plano en R3 si su normal es
paralela a la recta.

Hiperplanos

Definici´on
Todos los puntos (x1 , x2 , . . . , xn ) de un hiperplano que contenga al
punto P = (p1 , p2 , . . . , pn ) y que sea perpendicular al vector
→
−
a = (a1 , a2 , . . . , an )...