Rec

5

Progresiones

Objetivos
En esta quincena aprenderás a:

•

Reconocer una sucesión de
números.

•

Reconocer y distinguir las
progresiones aritméticas y
geométricas.

•

Calcular él término general de
una progresión aritmética y
geométrica.

•

Hallar la suma de los términos
de una progresión aritmética
finita y geométrica finita o
infinita.

•

Hallar el producto de los
términos de unaprogresión
geométrica finita.

Antes de empezar.
1.Sucesiones …………………………………….. pág. 74
Definición. Regla de formación
Término general
2.Progresiones Aritméticas ………….…. pág. 75
Definición
Término general
Suma de n términos
3.Progresiones Geométricas ……......… pág. 77
Definición
Término general
Suma de n términos
Suma de todos los términos
Producto de n términos

•

Resolver problemas con la
ayuda de lasprogresiones.

4.Aplicaciones ………………………........… pág. 79
Interpolación
Interés Compuesto
Resolución de problemas

•

Resolver problemas de interés
compuesto.

Ejercicios para practicar
Para saber más
Resumen
Autoevaluación
Actividades para enviar al tutor

MATEMÁTICAS 3º ESO „

71

72

„ MATEMÁTICAS 3º ESO

Progresiones

Antes de empezar

?

Para empezar, te propongo un juego sencillo, se tratade averiguar la
ficha de dominó que falta en cada caso.

MATEMÁTICAS 3º ESO „

73

Progresiones
1. Sucesiones
Definición.
Una sucesión es un conjunto ordenado de números
reales:
a1, a2, a3, a4, a5, a6, ...
Cada elemento de la sucesión se llama término de la
sucesión. Para designarlos se emplean subíndices.
Los términos de las sucesiones se pueden determinar
a partir de cierto criterio, estecriterio se denomina
regla de formación.

Término general
El término general de una sucesión es el que ocupa
un lugar cualquiera, n, de la misma, se escribe an

•

•

Hay sucesiones cuyo término general es una
expresión algebraica, que nos permite saber
cualquier término de la sucesión sabiendo el lugar
que ocupa, n.
En otras, cada término se obtiene a partir de los
anteriores, se dice que están dadasen forma
recurrente. Una relación de recurrencia es una
expresión algebraica, que expresa el término n en
función de los anteriores.

4, 7, 10, 13,…
Primer término: a1=4
Segundo término: a2=7
Tercer término: a3=10
Cuarto término: a4=13
Cada término se obtiene
anterior sumándole 3.

del

a2 = a1 + 3 = 4 + 3 = 7
a3 = a2 + 3 = 7 + 3 = 10
a4 = a3 + 3 = 10 + 3 = 13

4, 8, 12, 16,…
Cada
término
seobtiene
multiplicando el lugar que ocupa
por 4
a1 = 1·4 = 4
a3 = 3·4 = 12

a2 = 2·4 = 8
a4 = 4·4 = 16

EJERCICIOS resueltos
1.

El primer término de una sucesión es 4, escribe los cuatro primeros términos de
ella si: “Cada término es igual al anterior más el lugar que ocupa”:
Sol: a1 = 4 a2 = 4 + 2 = 6 a3 = 6 + 3 = 9 a4 = 9 + 4 = 13

2.

Escribe la regla de formación de la siguiente sucesión: 3, 8, 13,18 ,...
Sol: “Cada término es igual al anterior más 5”

3.

Escribe los cinco primeros términos de la sucesión formada por los cuadrados de
los números naturales a partir del 1.
Sol: a1 = 1

4.

a3 = 32 = 9

a4 = 4 2 = 16

a5 = 52 = 25

Calcula los 4 primeros términos de la sucesión de término general: an =
Sol: a1 =

5.

a2 = 2 2 = 4

n
n+1

1
1
2
2
3
3
4
4
a2 =
a3 =
a4 =
=
=
=
=
1+1 2
1+2 3
1+34
1+ 4 5

Escribe los 5 primeros términos de una sucesión cuya regla de formación es: “Cada
a1 = 3 y
a2 = 7
término es la suma de los dos anteriores”
Sol: a1 = 3 a2 = 7 a3 = 3 + 7 = 10 a4 = 7 + 10 = 17 a5 = 10 + 17 = 27

6.

Escribe el término general de estas sucesiones:
a) 2, 3, 4,5, 6,....

74

„ MATEMÁTICAS 3º ESO

Sol: an = 1 + n

b) 2, 4, 8,16, 32,....

Sol: an = 2n

Progresiones
2.Progresiones Aritméticas
Definición
2, 4, 6, 8, … → d=2
d>0 CRECIENTE

7, 5, 3, 1, … → d=-2

Una progresión aritmética es una sucesión en que
cada término (menos el primero) se obtiene sumando
al anterior una cantidad fija d, llamada diferencia de
la progresión.

•

Si d>0 los números cada vez son mayores, se
dice que la progresión es creciente.

•

Si d<0 los números cada vez son menores, se
dice que...