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Relaciones y Funciones
























Introducción a la Matemática
Diccionario básico de la matemática

La matemática se desarrolla resolviendo problemas ya establecidos con métodos nuevos; ello provoca un doble efectos, se comprenden mejor las viejas cuestiones y se originan nuevos problemas.1


DiceRicardo Gómez: "Parecemos hallarnos ante un complejo proceso de interdependencia en cuya superficie la matemática parece seguir su marcha “autónomamente” pero en el que una mirada hacia “el interior” revelará anclajes en las peculiaridades de la época y principalmente en el estado de las otras ciencias." 2

Diccionario básico de matemática

Antes de comenzar nos introduciremos en los lenguajesespecíficos de la matemática.
A continuación, expongo un breve diccionario de términos lógico matemático, con su significado.

Símbolo
Se lee


Pertenece a


No pertenece a


Unión


Intersección


Está incluido en


No está incluido en


“Y” (Conjunción lógica)


“O” (disyunción)


O excluyente


Menor o igual que
<

Menor que


Mayor oigual que
>

Mayor que


Para todo


Infinito
-

Menos Infinito


Es equivalente a


Si......entonces (implicación)
→
Implicación
"si… entonces"


Si y sólo si (bicondicional)
↔
Bicondicional o doble implicación
"si y solo sí"


No (negación)


Pi (letra griega que indica el cociente entre la circunferencia del círculo y el diámetro del mismo)
Tal que
=

Es igual a


Es distinto de
≡
Equivalencia
"equivale a"


















Producto Cartesiano.
Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano AXB es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al primer conjunto A y cuya segunda componente pertenece al segundo conjunto B. En símbolos tenemos que:
AXB = ( x,y ) /x A x B
Ejercicios:

Dados los conjuntos A = {1,2,3} y B = {a, b} determine: a) AxB , b) BxA , c) BxB .d) AxA

a) A x B = { (1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b) }
b) B x A = { (a,1) , (a,2) , (a,3) , (b,1), (b,2), (b,3) }
c) B x B = B2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b) } .
d) A x A = A2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1) (2, 2), (2, 3), (3,1), (3, 2) (3, 3)} .
El producto cartesiano no es conmutativo, es decir, A x B ≠ B x A .


Una relación de A en B, es cualquier subconjunto R del producto cartesiano AXB

R = {(1,a), (2,b), (3,a)} R C A x B

En una relación se distinguen; un primer conjunto A, llamado conjunto de partida, un segundo conjunto B, llamado conjunto de llegada, y un conjunto de paresordenados R AXB , llamado conjunto solución.













1. Funciones


Definición 1: Dados dos conjuntos A y B, se llama función de A en B a la relación que a todo elemento de A le hace corresponder uno y solo uno de B

f: AB Se lee f esta definido de A en B.
A es el conjunto de partida y B es el conjunto de llegada.

Definición 2: Una función es una relación de A enB tal que cumple con las condiciones de existencia y unicidad.
Existencia:
Todos los elementos de A tienen imagen en B.


Unicidad:
Cada elemento de A tiene una sola imagen en B.


Definición 3:
Una función es una relación entre dos variables en la cual a cada valor de una (variable Independiente) le corresponde un único valor de la otra (variable Dependiente).

Definición 4:Una relación definida de un conjunto A en otro conjunto B es funciona si y solo si todos los elementos del conjunto a tiene una y solo una imagen en el conjunto B


Algunas Aclaraciones y conceptos fundamentales para comprender las funciones

Dominio de la función: Lo trataremos a partir de un ejemplo.

A = 1,2,3,4  B = 0,1,2,3,6 ...