Reciprocidad Cuadratica

Capítulo II
Ley de Reciprocidad Cuadrática

Introducción
La ley de reciprocidad cuadrática la Joya de la aritmética superior, considerada así por Gauss a tal punto que lo llamó Aureum Theorema (el Teorema de oro) y muchos matemáticos a través de las épocas hasta nuestros días han considerado este teorema de gran importancia ejemplo de esto es Hecke quien afirmó: “ La teoría de números modernacomenzó con el descubrimiento de la Ley de Reciprocidad".
La Ley de Reciprocidad es, sin duda, un resultado muy útil dentro de la teoría de número. La idea principal de este capítulo es llevar al lector, un viaje a través de la historia de la Ley de reciprocidad cuadrática, para ver quienes fueron esos Matemáticos los cuales con tanto empeño trabajaron antes y después de la demostración dedicha ley, también presentaremos diferentes pruebas realizadas de dicha ley por distintos autores y distintos métodos, y así poder observar una de las maravillas de la matemáticas, es decir, un solo resultado como se puede ver desde muchos puntos de vistas y con muchos métodos distintos, es esto una de las motivaciones de este trabajo.

Para realizar este trabajo se procedió a una ardua tarea deinvestigación, a través de la web, bibliotecas y otros sitios de información, la cual fue recopilada en este trabajo, el cual lo dividimos en secciones para mejor comprensión del lector.
El motivo de este trabajo es para optar por el Título de Licenciatura en Matemática, a través de seminarios, el seminario este se denomína Tópicos de la Teoría de Números
Este tema es muy interesante, por lo cual seespera que sirva de motivación para muchos a seguir informándose más y poder lograr dar un aporte significativo al campo de las matemáticas, como todos los que contribuyeron a través de los años a presentar sus demostraciones de esta ley.

Sección 1.

Marco Histórico de la Ley de Reciprocidad

Marco Histórico de la Ley de Reciprocidad

Según el calendario gregoriano vigente, el siglo XVIII y elsiglo XIX comprende los años 1701-1900, ambos incluidos. En la historia occidental, el siglo XVII también es conocido como el Siglo de las Luces, debido a que durante el mismo surgió el movimiento intelectual conocido como Ilustración.
Fue en la segunda mitad del siglo XVIII, donde la Ley de Reciprocidad Cuadrática es seguramente el resultado más original de la Teoría de númerosaritmético-algébrica, además es en estos siglos donde encontramos, las personas que trabajaron en La Ley de Reciprocidad Cuadrática, desde los que la enunciaron hasta el que la demostró y otros que dieron grandes aportes.
La historia de esta ley se encuadra en el marco de los temas preferidos por los investigadores de este período: la representabilidad de números enteros por formas cuadráticas binarias con variablesy coeficientes enteros, y el interés no decayó en el siguiente siglo. El deseo de encontrar lo que se esconde detrás de la ley, y de poner de manifiesto sus implicaciones en multitud de cuestiones, fue un tema clave en el interés de los matemáticos, hasta tal punto que uno de los problemas abiertos, que Hilbert enunció en su famoso discurso inaugural del Congreso de París de 1900 fue:“Demostración de la ley más general de reciprocidad en un cuerpo de números cualesquiera”.

Ahora veamos quienes trabajaron antes de la demostración formal de la Ley de Reciprocidad Cuadrática.

* La ley fue descubierta por Euler, enunciándola claramente en 1742 en su carta a Goldbach. “Si existe un x tal que x2 – p es divisible por q, entonces p es un residuo cuadrático de q; si no, p no es un residuocuadrático de q.”, pero sin demostración. En un trabajo de 1783, después de dar cuatro proposiciones, en un teorema que resume los resultados, afirma lo que después Legendre llamó "Ley de reciprocidad cuadrática".
Como dice Kronecker, muchos años antes conocía Euler la proposición, que con seguridad descubrió en el periodo 1742-1746, probablemente tras cuidadosos estudios de los resultados...