Recopilación Algebra Conjuntos

Demuestre por pertenencia que:


Respuesta
PD.
/def. –
/def por pertenencia
/reflexividad /absorción /absorción /distrib por la izq

qed.


Demuestre losiguiente, utilizando álgebra de conjuntos justificando cada paso
A⊆C ⟹{C-[B∪(C-A) ] }=A-B
Respuesta:
C-[B∪(C-A) ]=C∩[B∪(C-A) ]^c/ Def. Diferencia de Conjuntos
=C∩[B^c∩(C-A)^c ] / Ley de Morgan=C∩[B^c∩(C∩A^c )^c ] /Def. Diferencia de Conjuntos
=C∩[B^c∩(C^c∪A) ] /Ley de Morgan
=C∩[(C^c∪A)∩B^c ] /Conmutatividad de intersección
=[C∩(C^c∪A) ]∩B^c /Asociatividad de intersección
=[(C∩C^c)∪(C∩A) ]∩B^c /D. Dist. Intersección c/r a Union
=[∅∪(C∩A) ]∩B^c /Absorción A∩A^c=
=(C∩A)∩B^c /Absorción ∅∪A=A

De la hipótesis sabemos que A⊆C, por lo tanto, utilizando la propiedad A⊆C⟹(A∩C)=A, lo anterior es igual a:
=A∩B^c
=A-B /Def. Diferencia de Conjuntos

Demuestre la siguiente propiedad de álgebra de conjuntos, utilizando el método de pertenencia.
A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C)Respuesta:
x∈[A∩(B-C) ]⟺(x∈A) ∧[x∈(B-C) ] /Def. Intersección
⟺(x∈A) ∧[(x∈B)∧(x∉C) ] /Def. Diferencia Conjuntos
⟺"C"∨{(x∈A) ∧[(x∈B)∧(x∉C) ] } / Absorción p⟺("C" ∨p)
⟺["C" ∧(x∈B) ]∨{(x∈A) ∧[(x∈B)∧(x∉C)] } /Absorción C⟺("C" ∧p)
⟺{[(x∈A)∧(x∉A) ]∧(x∈B) }∨{(x∈A) ∧[(x∈B)∧(x∉C) ] } /Absorción C⟺(p∧~p)
⟺{[(x∈A)∧(x∈B) ]∧(x∉A) }∨{[(x∈A) ∧(x∈B) ]∧(x∉C) } / Conmutatividad y Asociatividad del⟺[(x∈A)∧(x∈B) ]∧[ (x∉A)∨(x∉C) ] / D.Dist. de c/r a por la izq.
⟺[(x∈A)∧(x∈B) ]∧~[ (x∈A)∧(x∈C) ] /Ley de morgan
⟺[x∈(A∩B) ]∧~[ x∈(A∩C) ] /Def. Intersección
⟺[x∈(A∩B) ]∧[ x∈(A∩C)^c ] /Def. Complemento⟺x∈[(A∩B)-(A∩C) ] /Def. Diferencia Conjuntos
QED.

a. Utilice Álgebra de conjuntos para demostrar que:
[(A∪ X ) = (A∪Y) ∧ (A∩ X = A∩Y)]⇒ X = Y (Justifique)

Solución:
P.D.: [(A∪ X ) = (A∪Y) ∧ (A∩ X = A∩Y)]⇒ X =Y
E.E:
i)
X = X / Def =
X ⊆ X ∪(A∩Y) / Abs
X ⊆ (X ∪ A)∩(X ∪Y) / Dist. ∪ /∩ IZ.
X ⊆ (A∪ X )∩(X ∪Y) / Conm. ∪
X ⊆ (A∪Y)∩(X ∪Y) / Hipótesis (A∪ X ) = (A∪Y)
X ⊆ (A∩ X )∪Y /...