Recopilacion de laplace

Laplace versus Fourier
Una cosa que me intrigaba era que los Físicos (y ahora yo) utilizaban Transformada de Fourier para resolver ecuaciones diferenciales y los Ingenieros (yotambién) usaban para lo mismo, Transformadas de Laplace. De la gente a la que le pregunté nadie me podía decir nada coherente, pero hoy investigando en Internet me enteré por fin, he aquí unrápido resumen:
• Debido al exponente negativo en la integral de la Transformada de Laplace su convergencia es mucho más fuerte que en el caso de Fourier.
• La Transformada deLaplace es mejor para resolver problemas de valor inicial (t=0), La Transformada de Fourier para resolver problemas con condiciones en la frontera, en especial cuando queremos que lasolución decaiga a cero a grandes distancias. Una mezcla de ambos procedimientos es lo mejor: Ya que estamos interesados en resolver problemas en el espacio y tiempo, que tengan un valordetermiando en t=0 y decaigan a grandes distancias, entonces, hay que tomar la Transformada de Laplace respecto al tiempo y la de Fourier respecto al espacio.
• Aunque regularmente ladefinición de Transformada de Laplace es : F(s) = int(f(t) exp(-st)dt con límites de cero a más infinito, no es su única definición, esta es considerada la Transformada de LaplaceUnilateral. Existe otra definición que va de menos infinito a más infinito y es llamada Transformada Bilateral de Laplace. Tomando en cuenta esta última la Transformada de Fourier es un casoespecífico de la Transformada de Laplace Bilateral cuando s está restringido al eje imaginario. Debido a esto la Transformada de Laplace puede manejar muchas más funciones que la deFourier (si hay polos en el eje imaginario su transformada diverge, cosa que no sucede con Laplace, basta ver los ejemplos en Teoría de Control).

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