Recta de euler

d) la recta que contiene el baricentro, circuncentro y ortocentró, es la recta de Euler.

Y

Cir.(-3,2) (7,2)
X
Bar.(1,8/3)
(-9,-6) (5,-4)Ort.(9,-12)
Hay que encontrar la ecuación de la recta que pasa por el baricentro, circuncentro y ortocentró.
y-y1x-x1=y1-y2x1-x2
y-2x+3=2-12-3-9=14-12
-12(y-2)=14(x+3)
-12(y-2)=14(x+3)-12y+24=14x+42
14x+12y+18=0
7x+6y+9=0
Ecuación de Euler

e) Demuestre que los pies de las alturas (proyecciones) trazadas del punto (-3,12) a los lados del ΔABC son colineales.


Q(-3,12)Y
Qa
Recta de Simpson
A(7,2)
Qb X

C (-9,-6) Qc B (5,-4)


Los puntos Qa, Qb y Qc son los pies de las alturastrazadas del punto Q(-3,12) al triángulo.
Hay que encontrar los puntos Qa, Qb y Qc para encontrar la recta que pasa por ella y así demostramos que son colineales.
1.- Punto Qa (x1,y1)
Las rectas AB yQQa son perpendiculares, entonces las pendientes correspondientes de cada recta son inversas y de signo contrario, por lo que:
mAB=-4-25-7=-6-2=3
Y
mQQa=y1-12x1+3
Por lo antes dicho tenemos que:y1-12x1+3=-13
-3(y1-12)=(x1+3)
-3y1+36=x1+3
x1+3y1-33=0
Ecuación (1.1)
La ecuación de la recta AB es:
y-2x-7=2+47-5=62=3
y-2=3(x-7)
y-2=3x-21
3x-y-19=0

Tenemos que el punto Qax1,y1 , pasapor la recta AB, por lo que debe cumplir con la ecuación de dicha recta, así:
3x1-y1-19=0
Ecuación (2.1)
Resolvemos el sistema de ecuaciones (1.1) y (2.1), para encontrar x1,y1
x1+3y1-33=0Multiplicamos por -3
3x1-y1-19=0

-3x1-9y1+99=0
3x1-y1-19=0
-10y1-80=0
y1=-80-10=8 x1=9

Por lo tanto Qa(9,8)

2.- Punto Qb (x2,y2)
Lasrectas AC y QQb son perpendiculares, entonces las pendientes correspondientes de cada recta son inversas y de signo contrario, por lo que:
mAB=-6-2-9-7=-8-16=12
Y
mQQb=y2-12x2+3
Por lo antes dicho...