Recta de Euler

Recta de Euler

En todo triángulo no equilátero el ortocentro (O), el baricentro (G) y el circuncentro (K) están alineados, y, además, se cumple que ladistancia del baricentro alortocentro es el doble de la distancia del baricentro al circuncentro. La recta que los contiene se conoce como recta de Euler. Se llama así enhonor al matemático suizo Leonhard Euler(1707-1783), quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII.

Definiciones:

• Ortocentro (O): Punto donde seintersecan las tres alturas (o sus prolongaciones) de un triángulo.Altura de un triángulo es el segmento perpendicular desde un vértice a su lado opuesto.

•Baricentro (G): Punto donde se intersecan las tres medianas de un triángulo. Mediana es elsegmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

•Circuncentro (K): Punto donde se intersecan las tres mediatrices de un triángulo. Mediatriz es la recta perpendicular de unlado en su punto medio.

Demostración:

Enun triángulo ABC, se determinan D como el punto medio del lado BC y E como el punto medio del lado CA. Entonces AD y BE son medianas que seintersecan en elbaricentro G. Trazando las perpendiculares por D y E se localiza el circuncentro O.

A continuación se prolonga la recta OG (en dirección a G) hasta un punto P, demodoque PG tenga el doble de longitud de GO (figura 1).

Al ser G baricentro, divide a las medianas en razón 2:1; es decir: AG=2GD. De este modo

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Por otrolado, los ángulos AGP yDGO son opuestos por el vértice y por tanto iguales. Estas dos observaciones permiten concluir que los triángulos AGP y DGO son semejantes.