Recta En El Espacio

LA RECTA EN EL ESPACIO

1. Forma general de las ecuaciones de la recta.
Sea l la recta de intersección de dos planos diferentes cualesquiera, cuyas ecuaciones, en la forma general, son
Cualquier punto cuyas coordenadas satisfagan ambas ecuaciones del sistema (1) esta sobre cada uno de los planos y , por lo tanto, está sobre su intersección l . Recíprocamente, cualquier punto que estasobre l debe estar sobre cada uno de los planos, y sus coordenadas deben satisfacer, por lo tanto, ambas ecuaciones. Según esto, las dos ecuaciones del sistema (1), consideradas simultáneamente, son las ecuaciones de una recta en el espacio. El sistema (1) es llamado,
apropiadamente, forma general de las ecuaciones de la recta. En seguida observarnos el hecho importante de que las ecuaciones decualquier recta particular en el espacio no son únicas. En efecto, podemos considerar, que la recta l , representada por el sistema ( 1 ) , es la arista del haz de planos.
En donde el parámetro k puede tomar todos los valores reales. Por tanto, las ecuaciones de dos planos diferentes cualesquiera de la familia (2) pueden servir como ecuaciones de la recta l. Geométricamente, también, una rectaesta completamente determinada por dos planos diferentes cualesquiera que pasen por ella.

2. Forma simétrica de las ecuaciones de la recta; ecuación dela recta que pasa por dos puntos, y ecuaciones paramétricas de la recta.
Para muchos problemas, la forma general de las ecuaciones de una recta no es tan conveniente como otras ciertas formas que vamos a deducir a continuación. Vamos a basarnos enque una recta queda perfectamente determinada por uno de sus puntos y su dirección, o por dos cualesquiera de sus puntos. La deducción de las ecuaciones se
Basara dado uno de sus puntos y la pendiente. Definiremos a la línea recta como una curva del espacio caracterizada por la propiedad de que sus números directores Sean idénticos a (o proporcionales a) los números directores correspondientes decualquier segmento de la recta.

Sea P_1 (x_1,y_1,z_1) un punto dado cualquiera de la recta l cuyos números directores son [a, b, c]. Sea P(x,y,z) un punto cualquiera de l diferente de P_1. Entonces diremos que un sistema de números directores para l esta dado por [x-x_1,y-y_1,z-z_1 ].Por tanto, por nuestra definici6n de línea recta, las coordenadas de P deben satisfacer las relacionesx-x_1=ka, y-y_1=kb, z-z_1=kc,
en donde k es una constante diferente de cero . Estas relaciones son, por tanto, las ecuaciones de la recta l que pasa por un punto dado y tiene una dirección dada. Si los números directores [ a , b, c] de l son todos diferentes de cero, se acostumbra escribir las ecuaciones ( 1) en la forma simétrica.Si α,β,γ son ángulos directores de l, entonces puede escribirse de la forma
Siempre que ningún coseno director sea igual a cero.

Teorema. La recta que pasa por los puntos dados P_1 (x_1.y_1,z_1 )y P_2 (x_2,y_2,z_2) tiene por ecuaciones.
x-x_1=k(x_2-x_1), y-y_1=k(y_2-y_1), z-z_1=k(z_2-z_1),
en donde k es una constante diferente de cero.
Si las coordenadas P_1 yP_2 son tales que x_1≠x_2 ,〖 y〗_1≠y_2,z_1≠z_2 estas ecuaciones pueden escribirse de la forma:
Consideremos ahora la recta l que pasa por el punto dado P_1 (x_1.y_1,z_1 ) y tiene los ángulos directores dados α,β,γ . Sea P(x,y,z) un punto cualquiera de l, y t la longitud del segmento de recta variable PP_1. Vamos a considerar a t positivo o negativo según que P este de un lado o del otro deP_1, como aparece en la figura .Según esto, la variable t puede tomar todos los valores
reales incluyendo el valor cero cuando P coincide con P_1 . Evidentemente, para cada valor asignado a t, la posición de P queda perfectamente definida con respecto al punto fijo P_1. Tenemos las relaciones
de donde:

en donde el parámetro t representa la longitud dirigida de P_1 a un punto cualquiera P (x...