Recta normal

Recta normal

Pendiente
La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuyapendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

Ejemplos
Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.

Recta tangente


Tangente a una curva.

Plano tangente a una esfera.
Pendiente de la recta tangente

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.Diferentes rectas secantes y una tangente a una curva.
Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1, .
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Definición
Sea una curva, y un punto regular de esta, es decir un punto no angulosodonde la curva es diferenciable, y por tanto en la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a en es la recta que pasa por y que tiene la misma dirección que alrededor de .
La tangente es la posición límite de la recta secante () (el segmento se llama cuerda de la curva), cuando es un punto de que se aproxima indefinidamente al punto ( se desplaza sucesivamente por
Si representa unafunción f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta tendrá como coeficiente director (o pendiente):

Donde son las coordenadas del punto y las del punto . Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.
La ecuación de la tangente es :

La recta ortogonal a la tangente que pasa por el punto se denomina recta normal y supendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por . Siendo su ecuación.

DERIVADA DE UNA FUNCION
la derivada de una función.
En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado decurvas, así como para comprender la utilidad del cálculo integral, que se estudiarán a continuación.
La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.
DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO
Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 +h muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante que une los puntos (x0,f(x0)) y
(x0 + h,f(x0 + h)) tiende a confundirse con la tangente a la curva en el punto (x0, f(x0)).
Si α h es el ángulo que forma la secante con el eje de abscisas, y α el ángulo que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo devértices (x0,f(x0)),(x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0)), se verifica:
tg αh = [f(x0 + h) - f(x0)]/h
Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento
de la tangente, tg α h tiende a tg α, es decir, a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0)).
Esto se expresa matemáticamente así:
tg αh = [f(x0 + h) - f(x0)]/h = tg αh
Significado de laderivada
Puesto que
tg αh = [f(x0 + h) - f(x0)]/h = f´(x0),
la derivada de la función en un punto x0no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función) en (x0,f(x0)).
Ejercicio: cálculo de la derivada de una función en un punto
Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1.
Resolución:
- Se pide el valor de f"(1) (en este caso, x0 =...