Recta numerica

Recta Numérica
Definición: La recta real o recta numérica es un sistema de coordenadas en donde los números reales pueden representarse. Para construir una recta numérica, primero se escoge un punto en la recta que será un punto arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica. El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el ladonegativo. A la derecha del origen está el lado positivo y el negativo está a la izquierda. En el lado derecho van números enteros positivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos (en orden sucesivo), estos se marcan en unidades equidistantes.

Números Reales
Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cadapunto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y números enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0) .Podemos verlo en esta tabla:

Un número real es racional si se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los números racionales pueden escribirseen forma decimal. Existen dos maneras:

* Decimales terminales * Decimales que se repiten infinitamente Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros se llaman números irracionales. Los números irracionales no tienen decimales terminales ni decimales que se repiten infinitamente.

Propiedades de los números reales
Recordemos que en secundaria ypreparatoria se incluye en los programas de matemáticas procedimientos para sumar fracciones o números racionales, para multiplicar y dividir polinomios, para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas, para factorizar expresiones algebraicas, por mencionar algunos. En cada uno de estos temas se utilizan números reales. La idea fundamental en esta sección es la de poder resumir todas las propiedadesalgebraicas de los números reales que hemos utilizado o que se puedan utilizar. La pregunta es: Qué propiedades elementales bastarán para concluir a partir de ellas todas las demás propiedades que se cumplen en álgebra elemental? Qué tanto las podemos resumir? puesto que si hiciéramos una lista con todas las propiedades que sabemos que se cumplen fácilmente pasarían de cien. La siguiente es unalista con seis propiedades básicas, las cuales bastan para caracterizar completamente las propiedades algebraicas de campo de los números reales. Esto es, de aquí se pueden deducir las demás propiedades. Los números reales son un conjunto R con dos operaciones binarias + y * el cual satisface los siguientes axiomas. Axioma 1 Cerradura Si a y b están en R entonces a+b y a*b son números determinados enforma única que están también en R. Axioma 2 Propiedad Conmutativa (Suma y Multiplicación) Si a y b están en R entonces a+b = b+a y a*b = b*a. Axioma 3 Propiedad Asociativa. (Suma y Multiplicación) Si a, b y c están en R entonces a+ (b+c) = (a+b)+c y a*(b*c) = (a*b)*c

Axioma 4 Propiedad Distributiva. Si a, b y c están en R entonces a*(b+c) = ab+ac Axioma 5 Existencia de Elementos neutros. Rcontiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a*1 = a para a que pertenece a los reales. Axioma 6 Elementos inversos Si a está en R entonces existe un (-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a está en R y a es diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a en R tal que a*(1/a) = 1. [+ El inverso multiplicativo de a también se representa por {$ a^{−1} $} El primer axioma garantiza que la suma yla multiplicación son operaciones binarias en los números reales. Los axiomas 2 al 4 indican la forma de manipular algebraicamente las dos operaciones. El axioma 5 establece la existencia de dos elementos distintos 0 y 1. Y el último axioma indica la existencia de los elementos inverso por lo que los números reales forman un campo, nótese que en la segunda parte de este último axioma se supone...