Recta Tangente Y Normal

Índice

* INTRODUCCIÓN

* MARCO TEÓRICO

* EJEMPLOS Y EJERCICIOS

* CONCLUSIONES

* FUENTES DE CONSULTA

Introducción
Introducción

Rectas tangente y normal a la gráfica
Conociendo de una recta un punto cualquiera A (x0,y0) y su pendiente m, la ecuación punto-pendiente es:    y - y0 = m ( x - x0 )
Si el punto está en la gráfica de una función entonceses A(a,f(a)).
Ya sabemos que la recta tangente tiene como pendiente la derivada en a, es decir f'(a). Así la ecuación de la recta tangente es:

La recta normal es perpendicular a la anterior, y las rectas perpendiculares tienen pendiente inverso-opuesta, es decir, -1/f'(a). Así la ecuación de la recta normal es:

Pendiente de la recta tangente

La pendiente de larecta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.

Recta tangente a una curva en un punto
La recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 − 5x + 6 paralela a la recta 3x + y − 2 = 0.

Sea el punto de tangencia (a, f(a))

*m = −3

* f'(a) = 2a − 5

* 2a − 5 = −3a = 1

* P(1, 2)

* y − 2= −3 (x − 1)y = −3x + 5

Marco Teórico
Marco Teórico

La tangente a una curva, es una recta que toca a la curva en un punto y tiene la misma dirección de la curva en dicho punto, llamado de tangencia. La normal, es una recta perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia.
De la geometríaanalítica, sabemos que una recta está determinada por dos condiciones independientes, a saber, cuando se conocen: dos puntos de la recta, un punto y la pendiente de la recta, la pendiente y su ordenada al origen, su abscisa y ordenada al origen, etc. En particular, si conocemos la pendiente y un punto de la recta podemos determinar su ecuación.
De esta forma, dada una función y un punto sobre la curva,podemos determinar la pendiente de la recta tangente por medio de la derivada y, por lo tanto, su ecuación. La ecuación de la recta tangente T está dada por:
----------1)
 Por definición, la recta normal N es perpendicular a la recta tangente en el punto y, por lo tanto, su ecuación es
-----------2)
 Siendo m , en ambos casos, el valor de la derivada en el punto de tangencia
 

Ecuación de larecta tangente y normal
Como ya se ha mencionado, la tangente a una curva, es una recta que toca a la curva en un punto y tiene la misma dirección de la curva en dicho punto, llamado de tangencia. La normal, es una recta perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia.
 

Figura 2 
De la geometría analítica, sabemos que una recta está determinada por dos condiciones independientes,a saber, cuando se conocen: dos puntos de la recta, un punto y la pendiente de la recta, la pendiente y su ordenada al origen, su abscisa y ordenada al origen, etc. En particular, si conocemos la pendiente y un punto de la recta podemos determinar su ecuación.
 De esta forma, dada una función y un punto sobre la curva, podemos determinar la pendiente de la recta tangente por medio de la derivaday, por lo tanto, su ecuación. La ecuación de la recta tangente T está dada por
----------1)

Por definición, la recta normal N es perpendicular a la recta tangente en el punto y, por lo tanto, su ecuación es
-----------2)
 
Siendo m, en ambos casos, el valor de la derivada en el punto de tangencia

Ejemplos y ejercicios
Ejemplos y ejercicios


1. Calcular los puntos en que latangente a la curva y = x3 − 3x2 − 9x + 5 es paralela al eje OX.

y' = 3x2 − 6x − 9; x2 − 2x − 3 = 0 (simplificando por 3)

x1 = 3 y1 = −22

x2 = −1 y2 = 10

A(3, −22) B(−1, 10)

2. Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0, −2). Hallar el punto de tangencia.
Sea el punto de tangencia (a, f(a))
f' (x)= 3x2f' (a)= 3a2...