Recta Tangente Y Recta Normal Edo

Prof. Melba Rodríguez. Resumen

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL
1. Determinar todas las curvas planas, tales que la recta tangente en cada punto (x,y) pase por el punto (-1, 1) SOLUCIÓN: La ecuación de la recta tangente a una curva en un punto (x, y) es Y – y =y’ ( X – x )

(1)

Ya que la recta tangente debe pasar por el punto (–1, 1), se tiene que las coordenadas de dicho punto satisfacen la ecuación (1) Sustituyendo X = –1 , Y = 1 en la ecuación (1) 1 – y = y’ ( –1 – x )

(2)

La ecuación (2) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas cuya recta tangente pasa por el punto (–1, 1). Luego, para obtener la ecuación de esafamilia de curvas, basta con resolver la ecuación diferencial (2) Despejando y’ de la ecuación (2) y’ =
y −1 x +1

Como la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’

 y − 1 dy =   dx  x + 1
equivalentemente ( 1 – y ) dx + ( x + 1) dy = 0 (3)

La ecuación (3), es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las 1 variables debe multiplicarse laecuación (3) por el factor ( x + 1) (1 − y ) 1 1 dx + dy = 0 x +1 1− y integrando

∫

1 dx + x +1

∫

1 dy = C1 1− y

(4)

Ambas integrales son inmediatas

1

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sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (4) ln | x + 1 | – ln | y - 1 | = C aplicando las propiedades de logaritmo x +1 ln = C y −1 aplicando e x +1 = K y −1 1 multiplicando por( y – 1 ) k x +1 = y − 1 K despejando y x +1 + 1= y K reordenando la ecuación 1  1+ K  y = x +   K  K  La ecuación (5) es la ecuación de una familia de rectas de pendiente

∫

∫

1 dx = ln | x + 1| + C2 x +1

1 dy = − 1− y

∫

1 dy = – ln | y – 1| + C3 y −1

(5)

1 y ordenada K

 K +1  en el origen   . Esta familia satisface la condición que la recta tangente encualquiera  K  de sus puntos pasa por el punto (–1,1)

2. La recta normal a una curva dada en cada punto (x, y) sobre dicha curva, pasa a través del punto (2, 0). Si el punto (2, 3) pertenece a dicha curva, encuéntrese su ecuación. SOLUCIÓN:
La ecuación de la recta normal a una curva en un punto cualquiera (x, y) de la misma es:

 1 Ln : Y – y =  −  ( X – x )  y'  

(1)

2

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Esta recta normal pasa por el punto (2, 0), esto quiere decir que las coordenadas de dicho punto satisfacen la ecuación (1) Sustituyendo X = 2, Y = 0 en la ecuación (1)  1 – y = −  y' ( 2 – x )   

 y'  Multiplicando por  −   y   2− x y’ =   y    
Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’ 2− x dy =   y  dx   (2)

Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables, se multiplica la ecuación (2) por el factor ( y ) ( x – 2 ) dx + y dy = 0 integrando

∫ ∫
multiplicando por 2

( x − 2) dx +

∫

y dy = C1

(3)

Ambas integrales son inmediatas

( x − 2) dx =

( x − 2) 2
2

+ C2

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (3)

∫y dy =

y2 + C3 2 y2 =C 2
2

( x − 2) 2
2

+
2

(x–2) +y

= K

(4)

La ecuación (4) es la ecuación de una familia de circunferencias con centro en (2,0) y radio variable. Para determinar la curva de dicha familia que pasa por el punto (2,3), se sustituyen x = 2, y = 3 en la ecuación (4), obteniéndose K = 9. Este valor que se obtuvo para K se sustituye en la ecuación (4) 2 2(x–2) +y =9 (5)

3

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La ecuación (5) es la ecuación de la circunferencia de centro (2,0) y radio 3 que pasa por el punto (2,3).

3. Encuéntrense todas las curvas planas para las que el eje y biseca la parte de la tangente comprendida entre el punto de tangencia y el eje x SOLUCIÓN:
Sea P (x, y) el punto de tangencia, A (ax, ay) el punto de intersección...