Recta Tangente

Recta tangente

Recta secante

Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.
Es difícil hallar directamentela pendiente de la rectatangente de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes.Cuando tomemos el límite de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.
Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño quellamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos y  es

Esta expresión es un Cociente Diferencial de Newton.La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:

Si la derivada de f existe en cada punto x, podemos definir la derivadade f como la función cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x.
Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero, calcular la derivada directamente puedeser poco intuitivo. Una técnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy sencillo con funcionespolinómicas, pero para la mayoría de lasfunciones resulta demasiado complicado. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan la diferenciación de la mayoría de las funciones descritas.
(Recta secante: recta la cual intersecta o tiene encomún dos puntos con una curva)

Ejemplo 1
Consideremos la siguiente función:
| |
Entonces:
| |
| |
Esta función es constante, para cualquier punto de su dominio vale 5 (por esof(x+h)=5). Nótese el último paso, donde h tiende a cero pero nunca lo alcanza. Si pensamos un poco, observaremos que la derivada además de ser la pendiente de la recta tangente a la curva, es a la vez, la...