Recta

SEGUNDA UNIDAD

GEOMETRIA ANALITICA

La Geometría Analítica, es la ciencia que combina el álgebra y la geometría, para describir figuras geométricas planas desde el punto de vista Algebraico y Geométrico.

En esta parte del curso vamos a poder conocer una ecuación y poder analizarla y deducir su grafica; también conocer la descripcióndel lugar geométrico o su grafica y poder determinar su ecuación.

Sistema Coordenado Rectangular

Este sistema consta de 2 rectas: ࢞࢞´ y ࢟࢟´, llamados ejes de coordenadas, perpendiculares
entre sí. La recta ࢞࢞´ se llama eje x (abscisa); ࢟࢟´
es el eje y (ordenada) y su puinto de intersección
“O”, el origen.

Estos ejes se cortan perpendicularmentey dividen al plano en cuatro regiones llamados cuadrantes.

La notación de un punto A, es: ࡭ሺ࢞; ࢟ሻ

I.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Es la longitud del segmento que une dos puntos en el plano cartesiano.
Dados dos puntos: ܲଵ ሺݔଵ , ݕଵ ሻ ; ܲଶ ሺݔଶ , ݕଶ ሻ hallamos la distancia: ݀ሺܲതതଵതതܲതଶതሻ

Y ݈
ܲଶ ሺݔଶ , ݕଶ ሻ • ܣതതതܲതଵത ൌ ݔଶ െ ݔଵ ; ܲതതଶതതܣത ൌݕଶ െ ݕଵ

d ݕଶ െ ݕଵ Aplicando el teorema de Pitágoras
ܲଵ ሺݔଵ , ݕଵ ሻ • A al triángulo ܲଵ ܲଶ ܣ se tiene:
ݔଶ െ ݔଵ

X ࢊ ൌ ඥሺ࢞૛ െ ࢞૚ ሻ૛ ൅ ሺ࢟૛ െ ࢟૚ ሻ૛

Siendo esta la expresión que define la distancia entre dos puntos conocidos, la cual
siempre será positiva. Para hallar la distancia entre dos puntosse recomienda hacer una gráfica antes de realizar las operaciones.

Ejemplo:

1.- Calcular la distancia entre los puntos: M (6, 5) y

N ( −7, −3) .

Aplicando la formula de la distancia tenemos

݀ሺܯതതതܰതതሻ ൌ ඥሺെ7 െ 6ሻଶ ൅ ሺെ3 െ 5ሻଶ

Luego: ݀ሺܯതതതܰതതሻ ൌ ඥሺെ13ሻଶ ൅ ሺെ8ሻଶ
݀ሺܯതതതܰതതሻ ൌ √169 ൅ 64
݀ሺܯതതതܰതതሻ ൌ √233

II.-DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

Dados dos puntos: ܲଵ ሺݔଵ , ݕଵ ሻ y ܲଶ ሺݔଶ , ݕଶ ሻ, extremos de un segmento ܲതതଵതതܲതଶത; ܲሺݔ, ݕሻ
௉భ௉
que divide a éste en la razón: ݎ ൌ
௉௉మ
sus coordenadas son:

x ’ x1 + rx2
y ’ y1 + ry2
P ⎛ x1 + rx2 , y1 + ry2 ⎞
1 + r y

1 + r
∴ ⎜ 1 + r
1 + r ⎟⎝ ⎠

Coordenadas del Punto Medio:

Cuando ݎ ൌ 1, se cumplirá: ݔ ൌ ௫భ ା௫మ
ଶ

; ݕ ൌ ௬భା௬మ
ଶ

P ⎛ x1 + x2 , y1 + y2 ⎞
Luego sus coordenadas serán:
medio ⎜ 2 2 ⎟
⎝ ⎠

Ejemplo:

1.-Dados los puntos ( -4,2 ) y el punto medio es ( 3,-1 ). Hallar las coordenadas del otro extremo del segmento de recta.

Solución:

Sea ( x, y ) el otro extremo, entonces:

3 ൌ ௫ିସ ଶ
ฺ ݔ ൌ 10 ; െ1 ൌ ௬ାଶ ฺ ݕ ൌ െ4
ଶ

El punto buscado es: ( 10, -4 ) Rpta.
LA RECTA

I.- DEFINICION

Es el lugargeométrico de todos los puntos que tiene una misma pendiente y que pasan por un mismo punto. Una recta representada en el plano cartesiano tiene la forma de una ecuación lineal y sus ecuaciones tienen características particulares para sus posiciones relativas al sistema de coordenadas.

II.- INCLINACION Y PENDIENTE DE UNA RECTA

a) Inclinación de una RectaLa inclinación de una recta es el ángulo que forma el semieje positivo x con la recta cuando está dirigida hacia arriba.

ן ׷ ܫ݈݊ܿ݅݊ܽܿ݅ó݊ ݀݁ ݈ ן´ ׷ ܫ݈݊ܿ݅݊ܽܿ݅ó݊ ݀݁ ݈´

0଴ ൑ ן ൑ 180଴

b) Pendiente de una Recta

La pendiente de una recta es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación, la cual la representamos por "݉" y se expresa como:...