Rectas en el espacio

UNIDAD 6

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

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1. Puntos alineados en el plano Comprueba que los puntos A (5, 2), B (8, 3) y C (13, 5) no están alineados.

C (13, 5) B (8, 3) A (5, 2)

AB = (3, 1); BC = (5, 2) No tienen las coordenadas proporcionales; luego no están alineados.

→

→

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2. Rectas en el plano Para hallar las ecuaciones paramétricas de la recta queaparece a continación, → → toma el vector p (1, 4) para situarte en ella y el vector d (5, 2) para deslizarte por ella. Halla también su ecuación implícita.
r (5, 2)

(1, 4)

Unidad 6. Rectas y planos en el espacio

1

Ecuaciones paramétricas:  x = 1 + 5λ   y = 4 + 2λ Ecuación implícita: –2x = –2 – 10λ 5y = 20 + 10λ –2x + 5y = 18 →

2x – 5y + 18 = 0

Halla las ecuacionesparamétricas de la recta, s, que aparece dibujada en la gráfica siguiente:

s

Halla también su ecuación implícita. La recta s pasa por el punto (–1, 0) y tiene la dirección del vector d (1, –1). Ecuaciones paramétricas:  x = –1 + λ   y = –λ Ecuación implícita: Sumando las dos anteriores: x + y = –1 → x + y + 1 = 0
→

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1. Representa los puntos siguientes: P (5, 2, 3), Q (3, –2, 5), R (1,4, 0), S (0, 0, 4) y T (0, 6, 3). P (5, 2, 3) Q (3, –2, 5) R (1, 4, 0) S (0, 0, 4) T (0, 6, 3)
X Unidad 6. Rectas y planos en el espacio P R Y Z S Q T

2

2. Sitúa sobre unos ejes coordenados un punto P. Proyéctalo, P', sobre el plano XY. Sigue el proceso hasta determinar las coordenadas de P. (Observa que el único paso arbitrario es decidir la situación de P' ). P (3, 5, 2)
X

Z

P YP'

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1. Dados los puntos A (1, 7, 3), B (–1, 3, 0), C (3, – 4, 11) y D (1, 0, –5): a) Halla las coordenadas de los vectores: AB, BC, CD, DA, AC b) Halla el punto medio de cada uno de los siguientes segmentos: AB, BC, CD, AC, AD → → → a) AB = (–2, –4, –3) BC = (4, –7, 11) CD = (–2, 4, –16) → → DA = (0, 7, 8) AC = (2, –11, 8) b) MAB = 0, 5, MAC = 2,
→ → → → →

( (

3 2

3 ,72

) )

MBC = 1, MAD = 1,

( (

–1 11 , 2 2 7 , –1 2

)

MCD = (2, –2, 3)

)

2. Obtén las coordenadas del punto medio de los segmentos: a) de extremos (3, –5, 1) y (–3, 1, 13). b) de extremos (–5, 1, 7) y (4, 2, 0). a)

b)

( (

3 – 3 –5 + 1 1 + 13 , , = (0, –2, 7) 2 2 2 –5 + 4 1 + 2 7 + 0 –1 3 7 , , = , , 2 2 2 2 2 2

)

) (

)

3. Obtén las coordenadas de lospuntos que dividen cada uno de los segmentos del ejercicio anterior en tres partes iguales.
Q S R P

Dado un segmento de extremos P y Q: → → → 1 → → 1 → → 1 → 1 → OR = OP + PQ = OP + (OQ – OP) = OP + OQ – OP = 3 3 3 3 = → → OQ + 2 OP 3

O

→ → → → 2OQ + OP 2 → OS = OP + PQ = 3 3 3

Unidad 6. Rectas y planos en el espacio

Según esto, los puntos que buscamos son: a) (–3, 1, 13) + 2(3, –5,1) = (1, –3, 5) 3 2(–3, 1, 13) + (3, –5, 1) = (–1, –1, 9) 3 b) (4, 2, 0) + 2(–5, 1, 7) 4 14 = –2, , 3 3 3 2(4, 2, 0) + (–5, 1, 7) 5 7 = 1, , 3 3 3

( (

)

)

4. P (1, –3, 5), Q (0, 7, 2) y R (–1, 5, 6) son los vértices de un triángulo. a) Calcula las coordenadas del punto medio de cada lado. b) Recuerda que el baricentro (punto donde se cortan las medianas del trián2 1 gulo) está sobrecada mediana, a del vértice y a del punto medio del la3 3 do opuesto. Calcula el baricentro del triángulo anterior a partir de uno de los vértices. Repítelo para los otros dos y obtendrás el mismo resultado.
P(1, –3, 5) MPR MPQ R (–1, 5, 6)

a)

MPQ =

( ( (

1 7 , 2, 2 2

) ) )

G MQR

MQR = –

1 , 6, 4 2 11 2

MPR = 0, 1,

Q (0, 7, 2)

b) A partir de P: (ver ejercicio 3)→ → 2OMQR + OP → (–1, 12, 8) + (1, –3, 5) 13 OG = = = 0, 3, 3 3 3

(

)

A partir de Q: → → 2OMPR + OQ → (0, 2, 11) + (0, 7, 2) 13 OG = = = 0, 3, 3 3 3

( (

) )
4

A partir de R: → → 2OMPQ + OR → (1, 4, 7) + (–1, 5, 6) 13 OG = = = 0, 3, 3 3 3
Unidad 6. Rectas y planos en el espacio

5. Localiza el baricentro del triángulo de vértices A (2, –1, 3), B (0, 4, 1), C (1, 1, 0).
A...