Rectas En El Espacio

RECTAS EN IR3
I. LA RECTA EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Dado un punto p0(x0,y0,z0) y un vector a=(a1,a2,a3) no nulo, llamaremos recta que pasa por p0(x0,y0,z0) paralela al vector a=(a1,a2,a3) al conjunto.
L= {p ϵ IR3/p=p0+ta, t ϵ IR}
II. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Sea L la recta que pasa por el punto A=(x1,y1,z1) paralelo al vector u=(a,b,c). Si X(x,y,z) de IR3 es un puntocualquiera de la recta L, entonces el vector AX//u ↔ Ǝ t ϵ IR tal que: AX=tu, de donde X-A=tu entonces X=A+tu, por lo tanto la recta L es dado por:
L= {X=A+tu, t ϵ IR} ecuación vecto-rial de la recta L que se muestra en la figura 1

III. ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE LA RECTA EN EL ESPACIO
Consideremos la ecuación vectorial de la recta L: L= {P0+ta/ t ϵ IR}
Además: P ϵ L↔ P0+ta para algún t ϵ IR dedonde, al reemplazar por las coordenadas de P, P0 y de las componentes del vector a se tiene: (x,y,z)=( x0,y0,z0)+ t(a1,a2,a3), es decir:
x= x0+ a1t
L: y= y0+ a2t , t ϵ IR
z= z0+ a3t

Las cuales se conocen con el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta L.
OBSERVACIÓN: Las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por el par de puntos P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) estádado por:
x= x1+ (x2- x1)t
L: y= y1+ (y2- y1)t , t ϵ IR
z= z1+ (z2- z1)t

IV. ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA
Consideremos las ecuaciones paramétricas de la recta L.
x= x0+ a1t
L: y= y0+ a2t , t ϵ IR
z= z0+ a3t
Suponiendo que a1≠0, a2≠0, a3≠0, despejando el parámetro t de cada ecuación tenemos:
t = (x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3, de donde porigualdad
L: (x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3
Que se denomina ecuación simétrica de la recta L.
OBSERVACIÓN:
1. Si a3=0, la ecuación simétrica de la recta L se escribe en la forma
L: (x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 ᴧ z=z0
2. Si a1=0 ᴧ a3=0. La ecuación simétrica de la recta L se escribe en la forma:
L: x=x0 ᴧ z=z0

V. RECTAS PARALELAS Y ORTOGONALES
Las relaciones de paralelismo yortogonalidad entre dos rectas se da com-parando sus vectores direccionales.
Consideremos las ecuaciones vectoriales de dos rectas.
L1= {P+tv/ t ϵ IR} y L2= {Q+λw/ λ ϵ IR}
La recta L1 y la recta L2 son paralelas (L1//L2) si y solo si, sus vectores direc-cionales son paralelos, es decir:
L1//L2↔v//w

La recta L1 y la recta L2 son ortogonales (L1 L2) si y solo si, sus vectores direccionalesson ortogonales, es decir:
L1 L2↔v w

OBSERVACIÓN:
1. Si L1 y L2 son paralelas (L1//L2), entonces L1 = L2 o L1ᴖL2 = Ф

2. Si L1 y L2 no son paralelas (L1//L2), entonces L1ᴖL2 = Ф (las rectas se cruzan) o L1ᴖL2 consta de un solo punto.

VI. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
Consideremos las ecuaciones de dos rectas
L1= {p0+tu/ t ϵ IR} y L2= {q0+tv/ t ϵ IR}
Un ángulo entre lasrectas L1 y L2 se define como el ángulo formado por sus vectores direccionales u y v, es decir: (L1,L2) = (u,v) = α, y es dado por la fórmula.
cos α = u.v/(ǁuǁǁvǁ), o≤ α ≤π

VII. DISTANCIA MÍNIMA ENTRE DOS RECTAS(RECTAS QUE SE CRUZAN)
Si L1= {p0+ta/ t ϵ IR} y L2= {q0+λb/ λ ϵ IR} son dos rectas no paralelas (rectas que se cruzan, pertenecientes a los planos P1 y P2, respectivamente),en-tonces a la distancia mínima entre las rectas L1 y L2 denotaremos por d(L1,L2) y es definido como el segmento perpendicular común a ambas rectas.
Si las rectas L1 y L2 se cruzan, quiere decir que existen planos paralelos que contienen a las rectas L1 y L2 respectivamente.
Si d es la distancia entre los planos P1 y P2 donde N es la normal al plano P2; por lo tanto N es ortogonal a los vectoresdireccionales a y b (de L1 y L2, respectivamente) entonces N=axb
Ahora consideremos el vector unitario en la dirección de la normal N;
μN=N/ǁNǁ y como θ= (μN,AC) entonces
cosθ = μN.AC/(ǁμNǁǁACǁ) = μN.AC/ǁACǁ de donde:
μN.AC = ǁACǁcosθ …(1)
por otro lado en el triángulo rectángulo ABC se tiene:
d = ǁACǁcosθ
de donde al comparar (1) y (2) se tiene: d(L1,L2) = /μN.AC/
Considerando que:...