Rectas en el espacio

Recta en el espacio
Al igual que ocurre en el plano, una recta en el espacio queda determinada conociendo un punto     y un vector no nulo     que se llama vector director o direccional de la recta.
Estudiamos a continuación las diferentes formas que puede adoptar la ecuación de una recta.
Ecuación en forma vectorial
La recta que pasa por el punto     y tiene por vector director     es elconjunto de puntos     del espacio que verifican la relación vectorial     con  

Teniendo en cuenta la suma de vectores se verifica que:

Si identificamos el punto     con el vector que va desde el origen de coordenadas hasta el punto       ,   se tiene que  
Que se denomina ecuación vectorial de la recta.
Ecuación en forma paramétrica
Desarrollando la ecuación vectorial anteriorexpresada en coordenadas, tenemos lo siguiente:

Igualando componentes resulta:

Expresión que se denomina ecuación de la recta en forma paramétrica o ecuaciones paramétrica de la recta.
Ecuación en forma continua
Si, en las ecuaciones paramétricas,   ,     y     son distintos de cero, se puede despejar en cada una de ellas el parámetro  

Igualando las expresiones obtenidas resulta:

Quees la ecuación de la recta en forma continua.
Ecuación en forma cartesiana o implícita
A partir de la ecuación forma continua de la recta podemos obtener las dos ecuaciones siguientes:

Que se pueden reescribir de la forma:

Y que se conocen con el nombre de ecuación implícita o cartesiana de la recta.
Ejemplo
Determinemos las ecuaciones de la recta     que pasa por los puntos:

Unvector director de     es, por ejemplo, el vector que va desde el punto     hasta el punto  

Por lo tanto, la ecuación de la recta     en forma vectorial es:

En forma paramétrica es:

En forma continua es:

En forma implícita es:

Planos en el espacio tridimensional.
Ecuación vectorial, normal y cartesiana

Así como una recta está determinada por dos puntos distintos, un planoestá determinado por tres puntos no colineales.

Una manera muy conveniente de obtener una ecuación del plano en que pasa por los puntos , es observar que los puntos tienen la propiedad

Esta ecuación es una ecuación normal de

Si ponemos y desarrollamos la ecuación anterior, obtenemos una ecuación cartesiana de

Finalmente, podemos observar que si está en , entonces

Esta es unaecuación vectorial de .

 

Paraboloide
En la Geometría analítica, un paraboloide es una cuádrica, un tipo de superficie tridimensional, que se describe mediante las siguientes ecuaciones:
Paraboloide hiperbólico
.
Al paraboloide hiperbólico también se lo denomina silla de montar por su gráfica. Tiene la peculiaridad de contener rectas en su superficie.
Paraboloide elíptico

Cuando a =b, el paraboloide elíptico es un paraboloide de revolución: una superficie obtenida al girar una parábola respecto de su eje.
Es la forma que tienen las llamadas antenas parabólicas, entre otros objetos de uso cotidiano.
Además tienen la propiedad de reflejar (en caso tenga una superficie reflactante) la luz hacia un punto
Elipsoide
Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tressecciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos.
En matemáticas, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres dimensiones.
Un elipsoide se obtiene al «deformar» una esfera, mediante una transformación homológica, en la dirección de sus tres diámetros ortogonales.
Ecuación cartesiana de un elipsoide
La ecuación de unelipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:

Donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del elipsoide respecto de los ejes x, y, z; son números reales positivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos de estos semiejes son iguales, el elipsoide es un esferoide; si los tres son iguales, se trata de una esfera.
Superficie
La superficie de...