Rectas en el espacio

Rectas en el espacio
Ecuación vectorial de la recta

Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada.
Si P(x1, y1) es un punto dela recta r, el vector tiene igual dirección que , luego es igual a  multiplicado por un escalar:







Ecuaciones paramétricas de la recta
Si operamos en la ecuación vectorial de la recta llegamos ala igualdad:

Para que se verifique esta igualdad, se deben cumplir:

Ecuaciones continuas de la recta
Despejando e igualando x en las ecuaciones paramétricas se tiene:

Ecuaciones implícitas de larecta
Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

Ejemplos:
1.Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (1, 2,1) y cuyo vector director es .
Ecuaciones paramétricas

Ecuaciones en forma continua


Ecuaciones implícitas









1.  





Posición de rectas en el espacio

 
Ecuación explícita
r ≡ y = mx + ns ≡ y = m'x + n'
Ecuación general
r ≡ Ax + By + C =0
s ≡ A'x +B'y + C' =0
r y s secantes
m ≠ m'

r y s paralelas
m = m'n ≠ n'

r y s coincidentes
m = m'n = n'

Rectas definidas por un punto yun vector
Si la recta r viene determinada por:
  y 
 y la recta s por:
  y ,
la posición relativa de r y s viene dada por la posición de:
 .
Si  
hay dos posibilidades:
1. Rectas coincidentes si . 
2. Rectas paralelas si .

 
Si   hay otras dos posibilidades:
2. Rectas secantes si:  .


4. Rectas que se cruzan si .


Rectas definidas por sus ecuaciones implícitas
 
Si:
r = rango de la matrizde los coeficientes.
r'= rango de la matriz ampliada.
Las posiciones relativas de dos rectas vienen dada por la siguiente tabla:



Posición
r
r'
Cruzadas
3
4
Secantes
3
3
Paralelos
2
3Coincidentes
2
2

Ejemplo:
Hallar la posición relativa de las rectas r y s.
1. 
En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas.

Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes....