RECTAS EN EL PLANO


INTRODUCCIÓN

Existen problemas del área de la Economía y de la Administración, que se resuelven mediante el planteo y resolución de modelos matemáticos. Algunos de estos modelos son ecuaciones lineales de oferta, demanda, costos, etc. Estos son casos particulares de los llamados modelos lineales.
A modo de ejemplo supongamos la siguiente situación :

Un fabricante de bicicletasdesea conocer la relación que existe entre el precio por unidad, p, y la cantidad de bicicletas ofrecidas al mercado, x. Para ello, le solicita a un especialista un "estudio de mercado", quien luego de realizarlo, le informa que la relación entre x y p puede responder a un modelo lineal con dos variables.
El fabricante dispone además de la siguiente información:
 cuando el precio unitario es$ 100 se ofrecen
al mercado 150 unidades
 cuando el precio unitario es $200 se ofrecen
al mercado 450 unidades
La pregunta que se plantea el fabricante es la siguiente :
Con los datos disponibles, ¿ qué cantidad corresponde ofrecer al mercado
cuando el precio unitario es $150?

Para aplicar modelos lineales es precisoconocer conceptos matemáticos relacionados con la recta, limitando el tema de interés a la recta en el plano.
Para hacer el abordaje de este tema el alumno deberá contar con conocimientos previos sobre:
Elementos de trigonometría
Vectores
Resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas





MAPA CONCEPTUALLa recta en el plano

1. Ecuaciones de la Recta
1.1 Ecuación general de la recta

Volvamos al ejemplo presentado en la introducción y recordemos la información disponible:
La relación entre las variables x y p se supone que responde a un modelo lineal, cuya representación gráfica es una recta.

Cuandoel precio unitario es $100, se ofrecen al mercado 150 unidades.
Cuando el precio unitario es $200, se ofrecen al mercado 450 unidades.

Interpretemos esta situación gráficamente:



Con los datos disponibles, la pregunta del fabricante es:
¿Qué cantidad corresponde ofrecer al mercado cuando el precio unitario es
$150?

La respuesta puede ser leída en el gráfico :
“el punto C(x, 150) de la recta tiene abscisa x=300”

Vale decir:
"Cuando el precio unitario es $150 le corresponde ofrecer 300 bicicletas"


OBSERVEMOS:



Comencemos haciendo ciertas observaciones en el gráfico anterior :

La recta r es la recta sostén del vector AB, por lo tanto tienen la misma dirección.

AB tiene las siguientes componentes:

AB = (450-150,200-100) = (300,100)

Un vector perpendicular al AB , llamémoslo n , puede ser : n= (-1, 3)
Lo verificamos:
AB x n = (300,100) x (-1,3)= 300(-1)+100. 3 = 0

También se puede ver en el siguiente gráfico, que la condición que debe cumplir un punto C(x,p) para pertenecer a la recta que pasa por el punto A(150,100) es:n x AC =0

Escribiendo los vectores por sus componentes y resolviendo el producto escalar se obtiene :

(-1,3) x (x-150, p-100) = 0

-x+150+3p-300 = 0

-x+3p-150=0

Este es el modelo lineal que responde a la relación entre x y p en el problema del fabricante.
El modelo obtenido: -x+3p-150=0 es la ecuación general de la recta que pasa por el puntoA(150 ; 100) y es perpendicular al vector (-1 ; 3) .

Con este modelo podemos responder a la pregunta del fabricante, reemplazando p por 150 y despejando x :

Modelo: -x + 3p - 150 = 0
reemplazando p: -x + 3 . 150 - 150 = 0
despejando x : -x + 450 - 150 = 0
-x + 300 = 0...