RECTAS EN EL PLANO





Elaborado por YARITZA GUERRERO FEBRERO 2009

Dados varios elementos de una recta (puntos, pendiente, etc.) determinar la ecuación general de la misma y/o su posición relativa con otras rectas.

Recta es junto con el punto y el plano un concepto primitivo, es decir no podemos definirlos pero todos tenemos una idea física de lo que son.

En años anteriores observamos que cada vez querepresentábamos gráficamente una ecuación de primer grado con dos incógnitas obteníamos una línea recta. También si tenemos una ecuación de primer grado con una sola incógnita obtenemos una recta paralela a uno de los ejes coordenados. Sólo para recordar grafica las siguientes rectas y determina sus pendientes.

a) y = 2x-1 b) y = 3x+2 c) y = 6 d) x = -2

REPRESENTACIÓN GRÁFICADE UNA RECTA EN EL PLANO:

Representemos la recta da ecuación 2.x – y = -1

Procedimiento:

1. Despejamos la y , y obtenemos

2. Elaboramos una tabla de datos dando a x valores arbitrarios y Calculamos los valores de y sustituyendo los dados a x en la fórmula dada.

x
0
1
2
-1
-2
y
1
3
5
-1
-3

3. Representamos los datos de la tabla en un sistema de coordenadas cartesianas y al unir lospuntos obtenemos la recta deseada.




4.- Calculamos la pendiente con la fórmula
y resulta

FÓRMULAS PRINCIPALES QUE UTILIZAREMOS
EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE
INVOLUCREN RECTAS EN EL PLANO:

1.- ECUACIÓN GENERAL
A x + B y + C = 0 con A, B y C
2.- ECUACIÓN AFIN
y = m x + b
Donde m es la pendiente y b el punto en que la recta corta al eje de las ordenadas.
3.- ECUACIÓNPUNTO
PENDIENTE

4.- ECUACIÓN DADOS DOS PUNTOS

5.- ECUACIÓN SEGMENTARIA:
Si los segmentos que determina la recta sobre el eje x y sobre el eje y son respectivamente a y b

6.- PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS




PENDIENTE
7.- DADA LA ECUACIÓN GENERAL


8.- DADA LA ECUACIÓN AFÍN
m es el coeficiente de x

9.- DADOS DOS PUNTOS






DISTANCIA
10.- ENTRE DOS PUNTOS



11.- DE UN PUNTO ALA RECTA L=AX+BY+C=0


12.- ENTRE DOS RECTAS PARALELAS


13.- ANGULO ENTRE DOS RECTAS DE PENDIENTES

RELACIONES ENTRE DOS RECTAS EN EL PLANO DE PENDIENTES
14.- PARALELAS


15.- PERPENDICULARES


16.-SECANTES


EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE RECTAS EN EL PLANO:

1.- Hallar la ecuación general y la ecuación afín de la recta de pendiente m=2 y que pasa por el punto P(5,1)

Solución: Escribimosla fórmula 3, pues conocemos un punto y la pendiente de la recta. Quedará:

Sustituimos por la primera componente de p, en este caso =5
Sustituimos por la segunda componente de p, en este caso =1
Sustituimos m por su valor, en este caso m=2
Obtenemos:

Efectuamos la multiplicación indicada en el segundo miembro de la igualdad y resulta

Para hallar la ecuación general debemos trasponer lostérminos ubicados en el segundo miembro de la igualdad y quedará:

Ahora ordenamos y agrupamos términos semejantes, obtenemos:

Podemos multiplicar por -1 y la ECUACIÓN GENERAL será .
Para obtener la ecuación afín basta con despejar del resultado y. Quedará


2.- Hallar la ecuación general y la ecuación afín de la recta que pasa por el punto

Solución: Calculamos la pendiente de la recta que pasa porlos puntos dados con la fórmula 9. DADOS DOS PUNTOS se tiene que

Escribimos la fórmula 3, pues conocemos un punto y la pendiente de la recta. Quedará:

Sustituimos por la primera componente de , en este caso =2
Sustituimos por la segunda componente de , en este caso =-1
Sustituimos m por su valor, en este caso . Obtenemos:

El 6 que está dividiendo en el segundo miembro lo pasamos multiplicandoal primer miembro y el -7 lo multiplicamos por (x-2) en el segundo miembro de la igualdad y resulta

Para hallar la ecuación general debemos trasponer los términos ubicados en el segundo miembro de la igualdad y quedará:

Ahora ordenamos y agrupamos términos semejantes, obtenemos:
ECUACIÓN GENERAL
Para obtener la ecuación afín basta con despejar del resultado y. Quedará:
la cual podemos...