rectas perpendiculares

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Ángel Pérez Juárez
Rectas perpendiculares
Educación Matemática, vol. 22, núm. 3, abril, 2010, pp. 143-148,
Grupo Santillana México
México
Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=40516678007

Educación Matemática,
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nota de clase

Rectas perpendiculares
Ángel Pérez Juárez
Resumen: Se demuestra la condición de ortogonalidad entre dos rectas sin usar
funcionestrigonométricas. La alternativa es plantear una ecuación de segundo
grado y recurrir a las propiedades de estas ecuaciones, tales como la relación entre
el número de soluciones y el signo del discriminante de la ecuación cuadrática.
Esta manera de resolver el problema de ortogonalidad entre rectas nos muestra, de
paso, la utilidad de algunas propiedades de un polinomio cuadrático.Perpendicular lines
Abstract: A proof of the orthogonality condition between two lines without using
trigonometric functions is presented. The alternative proof consists in developing a second degree equation and working with quadratic equations properties,
such as the relationship between the number of solutions and the discriminant
sign. This approach shows as well the usefulness of some of theproperties of a
quadratic polynomial.
La motivación para buscar una prueba de la ortogonalidad entre rectas sin usar
trigonometría es que, en los cursos de álgebra elemental que he impartido, si bien
se incluye en el temario la revisión de algunos conceptos de trigonometría, este
tema viene al final del curso, mientras que la condición de ortogonalidad se suele
utilizar antes, en el tema de línearecta.
En textos elementales que incluyen trigonometría, como en Zill o en Corral, se
prueba la identidad de la tangente de una diferencia de ángulos y, a partir de ahí,
es relativamente simple probar la condición de rectas perpendiculares, que no es
la herramienta que se utiliza aquí.
Existe una condición bien conocida de perpendicularidad entre dos rectas, que
es: dos rectas, con pendientediferente de cero, son ortogonales si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.
Fe­ ha de re­ ep­ ión: 26 de noviembre de 2010.
c
c c

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Rectas perpendiculares

Suponiendo que las rectas son ortogonales, se va a demostrar que m1m2 = -1.
Sean las rectas con ecuaciones
L1: y = m1x π b1
L2: y = m2x π b2
conm1m2 π 0.
Y

L1

L2

P2

P1

K

(x1 , k)

Y

k

(x2, k)

I
X2

X0

X1

X

Como las rectas no son paralelas, existe un punto de intersección entre ellas
que denotamos con I(x0, y0). Consideremos una recta horizontal que no pasa por
el punto I. Sin perder generalidad, supongamos que la ecuación de esta recta
horizontal es H: y = k con k π y0. Esta recta H intersecalas rectas L1 y L2 en los
puntos P1 y P2, respectivamente, y sus coordenadas son P1(x1, k) y P1(x2, k) por
estar en la recta horizontal H.
El triángulo P1P2I es rectángulo y, por tanto, podemos aplicar el teorema de
Pitágoras, donde la hipotenusa es el segmento P1P2 y los catetos son P1I y P2I.
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Educación Matemática, vol. 22, núm. 3, diciembre de 2010

Ángel Pérez Juárez

Estostres lados satisfacen la relación
(P1I)2 + (P2I)2 = (P1 P2)2



(1)

Si utilizamos la fórmula de la distancia entre dos puntos para cada uno de
estos segmentos, se tiene
(P1I)2 = (x1 - x0)2+(k - y0)2
(P2I)2 = (x2 - x0)2 + (k - y0)2
P1 P2 = (x2 - x1)
sustituyendo estas expresiones en (1)


(x1 - x0)2 + (k - y0)2 + (x2 - x0)2 + (k - y0)2 = (x2 - x1)2

(2)

Con las coordenadas...