Rectas Y Numeros Notables En Un Triangulo

Rectas y puntos notables en un triángulo

En los triángulos hay una serie de rectas y puntos importantes. Las rectas son la mediana, la mediatriz, la altura y la bisectriz. Los puntos donde se cortan son el baricentro, el circuncentro, el ortocentro y el incentro, respectivamente.
MedianasLas medianas de un triángulo son las rectas que se obtienen al unir cada uno de los vértices del triángulocon el punto medio del lado opuesto a él. Las tres medianas de un triángulo...MediatricesLas mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a sus lados que pasan por el punto medio. Se cortan en un punto que está a la misma distancia de los tres vértices del...
AlturasLas alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares que van desde un vértice al lado opuesto o a suprolongación. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto que se...BisectricesLas bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen a sus ángulos en dos partes iguales. Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro. Con centro en...
Puntos y rectas notables de los triángulos
Las rectas y puntos notables de un triángulo  son:
las mediatrices, , que se cortan en unpunto llamado circuncentro  ,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo;
las medianas, , que se cortan en el baricentro, , centro de gravedad del triángulo;
las bisectrices, , que se cortan en el incentro , centro de la circunferencia inscrita del triángulo;
las alturas, , que se cortan en el ortocentro, .

[editar] Las mediatrices
Las mediatrices de un triángulo acutángulo secortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.
Sirven para medir un angulo recto en 3 lineaspsasando los angulos por una misma posicion.
[editar] Las medianas
Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo.
El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad del triángulo.

Si unimos los puntosmedios de los lados del triángulo  obtenemos el triángulo  que tiene el mismo baricentro que  y sus medianas miden la mitad que las de .
Además los lados de  miden la mitad que los lados de  y la superficie de  es la cuarta parte de la superficie de , pues podemos comprobar que al trazar  se han definido otros tres triángulos iguales: .
Consideramos una mediana . Si  es el baricentro se cumpleque .
Se cumple también que si se dibuja , la mediana de la mediana , ésta corta al lado  siendo: .

[editar] Las alturas
Las alturas de un triángulo acutángulo se cortan siempre en un punto interior del triángulo, luego su ortocentro es interior al triángulo.

En el caso de un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo.
En el caso del triángulo rectángulo vemos queel ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

[editar] Las bisectrices
Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo  se cortan en un punto llamado incentro que siempre es interior al triángulo. Como el incentro pertenece a las tres bisectrices equidista de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita a .
Para dibujar dicha circunferencia debemos hallar los puntosde tangencia sobre los lados. Basta con trazar una perpendicular desde  a uno de ellos, por ejemplo al lado , obteniendo  y, a continuación trasladar el resultado a cada uno de los lados del triángulo, como se ve en la figura, ya que  y .

El teorema de la bisectriz dice que “la bisectriz de un ángulo interno corta al lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados”.
Demostraremos esteteorema al ocuparnos de la proporcionalidad directa.
[editar] Propiedades relativas a las rectas y puntos notables de los triángulos
[editar] Suma de vectores
En un triángulo , cuyo circuncentro es  y su ortocentro es , se verifica que el vector  es igual a la suma de los vectores .
[editar] Triángulo órtico y circunferencia de Feuerbach
El triángulo  que tiene como vértices los pies de...