RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

1. INTRODUCCIÓN
Los inventores de la Geometría Analítica, Descartes y Fermat (siglo XVIII), se interesaron por el estudio de superficies, pero dedicaron poca atención a ello, centrándose casi exclusivamente en el estudio de curvas planas. Fue en el siglo XVIII cuando se desarrolló la geometría analítica del espacio. Clairut, Euler y Lagrange fueron pioneros.
Porsu extraordinario nivel de geómetra y su vocación pedagógica, puede considerarse a Monge (1746-1818) como el auténtico padre de la geometría analítica tridimensional: entre sus muchos libros, publicó uno para sus alumnos de la Escuela Politécnica de París, en el que desarrolló la geometría analítica del espacio prácticamente como se encuentra en la actualidad.
Extraordinario geómetra y magnificopedagogo, Monge, sin embargo, no fue un buen escritor de libros de texto. Este deficiencia fue largamente compensada por algunos de sus discípulos, entre los que destaca Lacroix (1765-1843).
La matemática actual y en especial el Cálculo se caracteriza por la importancia que le confiere a la Geometría Espacial y a las funciones de varias variables, por considerar que tanto las operacionesnuméricas como las lógicas en las funciones de varias variables usando la Geometría Espacial representan procesos estrechamente ligados.

1.- SISTEMA DE COORDENANDA RECTANGULAR EN EL ESPACIO
Consideremos tres planos mutuamente perpendiculares. Pxy, Pxz, Pyz, que se cortan en un mismo punto O. En la figura se indican los siguientes elementos geométricos:





a) EJESCOORDENADOS.- Los ejes generalmente son identificados por letras X, Y, Z y se habla frecuentemente del eje X, del eje Y y del eje Z, donde:
El eje X es la recta determinada por la intersección de los planos Pxy y Pxz, el eje Y es la recta determinada por la intersección de los planos Pxy y Pyz y El eje Z es la recta determinada por la intersección de los planos Pxz y Pyz.

La dirección positiva seindica por medio de una flecha. Los ejes coordenados tomados de dos en dos determinan tres planos, llamados planos coordenados.


b) PLANOS COORDENADOS.- El plano coordenado XY que denotaremos por Pxy, es determinado por las rectas: eje X y eje Y.
El plano coordenado XZ que denotaremos por Pxz, es determinado por las rectas: eje X y eje Z.
El planocoordenado YZ que denotaremos por Pyz, es determinado por las rectas: eje Y y eje Z.
Los planos coordenados dividen al espacio tridimensional en 8 sub-espacios llamados octantes.
Consideramos un punto p(x, y, z), cualquiera en el espacio tridimensional, a través de p(x, y, z) se construye tres planos un plano perpendicular a cada uno de los ejes coordenados.
Sean A(x, 0, 0) el punto en el cual elplano perpendicular corta al eje X, B(0, y, 0) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Y, y sea C(0, 0, z)el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Z.




2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

TEOREMA.- La distancia no dirigida entre dos puntos p1(x1, y1, z1) y p2(x2, y2, z2) del espacio tridimensional está dado por:D(p1,p2)=

3. DIVISIÓN DE UN SEGMENTOSEGÚN RAZÓN DADA
TEOREMA.- Si los puntos p1(x1, y1, z1) y p2(x2, y2, z2) son extremos de un segmento dirigido; las coordenadas de un punto p(x, y, z) que divide al segmento en la Razón es:
/ es:


4. ÁNGULOS DIRECTORES, COSENO DIRECTORES Y NÚMEROS DIRECTORES
Consideremos el vector a=(a1,a2,a3) en elespacio tridimensional y los ángulos α, β y γ formados por los ejes de coordenadas positivos y el vector a=(a1,a2,a3) es decir :
α=(i,a), β=(j,a) y γ=(k,a). Si a es ║ a L , recta donde a=(a1,a2,a3) diremos que:

i) 1 2 3 a ,a ,a son los números directores de la recta L.
ii) Los ángulos , y se llaman ángulos directores de la recta L, y...