Rectas y planos

VECTORES: RECTAS Y PLANOS
Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (3, 1, 0) y Q (1, 1, 2).
Solución: I.T.I. 93, I.T.T. 04



Sea un punto A genérico de la recta de coordenadas ( x, y, z ) , los vectores PA y PQ
son vectores contenidos en la recta y por lo tanto paralelos luego:


PA = λ PQ

⇒
⇒

( x − 3, y − 1, z ) = λ ( −2, 0, 2 )
( x, y, z )= ( 3 − 2λ, 1, 2λ )

Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (x1, y1, z1) y Q (x2, y2, z2).
Solución: I.T.I. 94



Sea un punto A genérico de la recta de coordenadas ( x, y, z ) , los vectores PA y PQ
son vectores contenidos en la recta y por lo tanto paralelos luego:


PA = λ PQ

⇒
⇒

( x − x1, y − y1, z − z1 ) = λ ( x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1 )( x, y, z ) = ( x1 + λ [ x2 − x1 ], y1 + λ [ y2 − y1 ], z1 + λ [ z2 − z1 ])

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (2, 3, –9) y B (0, 6, –1).
Solución: I.T.I. 04

 
Sea un punto P genérico de la recta de coordenadas ( x, y, z ) , los vectores AP y AB son
vectores contenidos en la recta y por lo tanto paralelos luego:


AP = λ AB

⇒
⇒

( x − 2,y − 3, z + 9 ) = λ ( −2, 3, 8 )
( x, y, z ) = ( 2 − 2λ, 3 + 3λ, − 9 + 8λ )

Determinar la distancia del punto P de coordenadas (6, –4, 4) a la recta que pasa por los
puntos A y B de coordenadas (2, 1, 2) y (3, –1, 4) respectivamente.

Jose Javier Sandonís Ruiz 6/10/04 09:15
Eliminado: –

Solución: I.T.I. 95, I.T.T. 04
La distancia que nos piden será, según la figura,

P
d

d = APsenθ . El valor de θ lo podemos

obtener a partir del producto vectorial:

AP × AB = AP

⇒

AB senθ

B

θ
A

AP × AB
d=

AB

= 3 unid. de longitud

Determinar la distancia del punto P de coordenadas (5, –5, 3) a la recta que pasa por los
puntos A y B de coordenadas (1, 0, 1) y (2, –2, 3) respectivamente.

Jose Javier Sandonís Ruiz 6/10/04 09:11
Eliminado:
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not defined.
Jose
Sandonís
Ruiz 6/10/04 09:13

Solución: I.T.I. 96, 00, 06, I.T.T. 96, 00, 03, 06

Eliminado:

La distancia que nos piden será, según la figura,

P
d

d = AP senθ . El valor de θ lo podemos

obtener a partir del producto vectorial:

AP × AB = AP

⇒

AB senθ

AP × AB
d=
AB

= 3 unid. de longitud

θ
A

B

Determinar la distancia del punto P(4, –1, 5) a la recta que pasa por los puntos A (1, –2 , 0) y
B (1, 1 ,4).
Solución: I.T.I. 92, 93, 94, 03, I.T.T. 95, 99, 02, I.I. 94

P

La distancia que nos piden será, según la figura,
d = AP senθ . El valor de θ lo podemos

d

obtener a partir del producto vectorial:

B

θ
AP × AB = AP

AP × AB

⇒

d=

A

AB senθ

AB

=

346
unid. de longitud
5

Calcularla ecuación de la recta que pasa por los puntos A (2, –1, 5) y B (3, 0, 4). Determinar
la distancia del punto P (1, 2, –1) a dicha recta.
Solución: I.T.I. 97, I.T.T. 97, 01, 05
Sea Q un punto cualquiera de la recta, de
coordenadas (x, y, z) (respecto del origen de
coordenadas en O). La ecuación paramétrica
de la recta vendrá dada por:

⎫⎪
⎬
AQ = λ AB ⎪⎭

OQ = OA + AQ
AQ || AB
⇒⇒

⇒

OQ = OA + λ AB

( x, y, z) = (2, − 1, 5) + λ (1,1, − 1)

⇒

x =λ +2

La distancia que nos piden será, según la figura,

y = λ −1

P
d

d = AP senθ . El valor de θ lo podemos

obtener a partir del producto vectorial:

AP × AB = AP

⇒

AB senθ

AP × AB
d=
AB

=

θ
A

74
unid. de longitud
3

z =5−λ

B



Si A = (3, 1, 2) y B = (1, –2, 4) sonlos vectores de posición de los puntos P y Q
respectivamente, hallar: a) la ecuación del plano que pasa por Q y es perpendicular a la recta
PQ, b) la distancia del punto (–1, 1, 1) al plano.

Solución: I.T.I. 93, 95, I.T.T. 04

a) Sea M de coordenadas (x, y, z) un punto cualquiera del plano. El vector QM es un
vector contenido en el plano que nos piden y por lo tanto debe ser...