RECTAS Y PUNTOS NOTABLES

#RECTAS Y PUNTOS NOTABLES -------------------------------------------------------------------------
*MEDIATRIZ: La Mediatriz de un lado de un triángulo se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por su punto medio. Todo triángulo ABC, tiene 3 Mediatrices.
Propiedad: Los puntos de la Mediatriz de un lado de un triángulo equidistan de los vértices que definen dicholado.
*CIRCUNCENTRO: Cualquier punto de la mediatriz de un lado de un triángulo equidista de los vértices que definen dicho lado. Luego si llamamos O al punto de intersección de las mediatrices de los lados AB y BC, por la propiedad anterior, el punto O equidista de los vértices A y B (por estar en la mediatriz de AB) y de los vértices B y C (por estar en la mediatriz de BC). Luego equidista de A,B y C. Al equidistar de los tres vértices del triángulo, en particular, equidista de A y C, lo que demuestra que también estará en la mediatriz del lado AC y, además, será el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.
De lo anterior, concluimos:
1. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un único punto, que denotaremos por O, y que recibe el nombre deCircuncentro.
2. El punto de corte de las tres mediatrices es el centro de un circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, que llamaremos circunferencia circunscrita.
Propiedad: El Circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa. El Circuncentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo. El Circuncentro de un triángulo obtusánguloestá en el exterior del triángulo.
*ALTURA: La Altura de un triángulo, respecto de uno de sus lados, se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por el vértice opuesto. Todo triangulo ABC, tiene 3 Alturas.
Propiedad: Una Altura puede ser interior al triángulo, exterior al mismo, o incluso, coincidir con alguno de sus lados (según el tipo de triángulo).
*ORTOCENTRO: Consideremosun triángulo de vértices A', B' y C'. Demostrando que las mediatrices de dicho triángulo se cortaban en un único punto, llamado Circuncentro. Ahora bien, si llamas A, B y C a los puntos medios de los lados B'C', A'C' y A'B', respectivamente, y consideras el triángulo ABC. Podemos comprobar lo siguiente:
1. Los lados de los triángulos ABC y A'B'C', son respectivamente paralelos.
2. La mediatrizdel lado A'B' es la perpendicular a A'B' que pasa por su punto medio (C), luego será también perpendicular a AB (por ser paralelo a A'B'). Así pues, considerando el triángulo ABC, dicha recta es perpendicular a AB pasando el vértice C, o lo que es lo mismo, es la altura del triángulo ABC respecto del lado AB.
Análogo razonamiento nos lleva a deducir que la mediatriz del lado A'C' del triánguloA'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado AC. Y, la mediatriz del lado B'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado BC. Las alturas del triángulo ABC, son las mediatrices del A'B'C', y como las mediatrices de cualquier triángulo se cortaban en un único punto, podemos deducir:
1. Las alturas de cualquier triángulo se cortan en unúnico punto, que llamaremos Ortocentro, y que denotaremos por H.
2. Además, el Ortocentro de este triángulo coincide con el Circuncentro de un triángulo semejante al dado, y que tiene los vértices del primero como puntos medios de sus lados.
Propiedad: El Ortocentro de un triángulo rectángulo es el vértice correspondiente al ángulo recto. El Ortocentro de un triángulo acutángulo está en elinterior del triángulo. El Ortocentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo.
*MEDIANA: La Mediana de triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como la recta que une dicho vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. Todo triángulo ABC, tiene tres medianas (una por cada vértice).
Propiedad: Las tres Medianas de un triángulo son interiores...