Rectas

1

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
Un par ordenado de números reales ( x0 , y0 ) lo podemos representar en el plano en un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares o plano xy. Este sistema está constituido por dos rectas perpendiculares orientadas, llamadas ejes coordenadas y la intersección de ellas se llama origen. En la figura el eje horizontal es llamado eje x y el eje verticales el eje y. Estos ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas primer, segundo, tercer y cuarto cuadrante, denotados por respectivamente.

I,

II ,

III ,

IV

Como ya hemos dicho un par ordenado de números reales ( x0 , y0 ) lo podemos representar mediante un punto P en este plano. El número x 0 se llama abscisa o coordenada x del punto y y0 se conoce como la ordenada o coordenaday del punto. Para graficar se procede como sigue. Se localiza el número x 0 en el eje (real) x y se traza una perpendicular al eje, igual se procede con el número y0 en el eje y. La intersección de estas dos rectas es un punto en el plano xy y es la representación del par ( x0 , y0 ) . Recíprocamente, podemos ver que cada punto P en el plano representa a un par de números reales ordenados. Ejemplo1.- Represente en el plano cartesiano los puntos (-2,1); (-4,-2); (0,-1); (2,-3) y (5,0). Solución:

2

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
A continuación vamos a mostrar cómo calcular la distancia entre dos puntos P1 ( x1 , y1 ) y
P2 ( x2 , y 2 ) .

En la figura podemos ver como formamos un triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es el valor a calcular. Observe que los catetos sepueden calcular al conocer las coordenadas de los dos puntos.

Usando el Teorema de Pitágoras obtenemos la fórmula de distancia entre dos puntos:

d ( P1 , P2 ) = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

Ejemplo 1.- Representar gráficamente los puntos P1(-2,1) y P2(3,-4) y calcular la distancia entre estos dos puntos. Solución: Por la fórmula de distancia entre dos puntos tenemos d ( P1 , P2 ) = (3 − (−2)) 2 + (− 4 − 1) 2

= (5) 2 + (− 5) 2 = 25 + 25
= 5 2

Comentario.- Es claro, por el propio concepto de distancia, que la distancia de P1 a P2 es la misma que de P 2 a P 1 . Analíticamente podemos verificar que
d ( P1 , P2 ) = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 =

( x1 −

x 2 ) + ( y1 − y 2 ) = d ( P2 , P1 )
2 2

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA
En esta sección se quiere mostrar lafórmula para las coordenadas PM(xM,yM) del punto medio del segmento que une los puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y 2 ) . PM está en la mitad entre P1 y P2. Del dibujo podemos apreciar que xM, también está en la mitad entre x1 y x 2 . Este resultado lo podemos deducir a través de la semejanza entre los triángulos P1AP2 y PMBP2.

3
( x 2 − x1 ) . Así xM 2

La distancia entre xM y x1 es está( x 2 − x1 ) unidades más allá de x1 . 2 ( x − x1 ) Esto es x M = x1 + 2 . 2 Realizando la suma y simplificando queda: x + x2 xM = 1 2

Igualmente podemos verificar que
yM = y1 + y 2 2

Es decir: las coordenadas del punto medio es el promedio de las coordenadas. En conclusión  x + x 2 y1 + y 2  (xM , y M ) =  1 ,  2 2  

Ejemplo 2.- Calcular el punto medio del segmento de recta queune a P1(2,1) y P2(-2,-3). d ( P1 , P2 ) Compruebe que d ( P1 , PM ) = 2 Solución:  2 + (− 2) 1 + (− 3)  (xM , yM ) =  ,  2 2  

= ( 0,− 1)
d ( P1 , P2 ) = ( − 2 − 2) 2 + ( − 3 − 1) 2 = 4 2 d ( P1 , PM ) = ( 2 − 0) 2 + (1 − (− 1)) 2 =
8= 2 2

Efectivamente d ( P1 , P2 ) 4 2 d ( P1 , PM ) = , pues 2 2 = . 2 2

Ejercicio de desarrollo.- Calcular el punto medio del segmento de rectaque une a los puntos P1(3,1) y P2(0,-4). Compruebe que d ( P1 , PM ) = d ( P2 , PM )

4 EJERCICIOS
1) Represente en el plano cartesiano los puntos (-2,1); (-4,-2); (0,2); (2,-3) y (5,0). 2) Representar gráficamente los puntos: P1(-2,1) y P2(3,-4) y calcular la distancia entre estos dos puntos. 3) Representar gráficamente los puntos P1(2,-1) y P2(0,4) y calcular la distancia entre estos dos...