Rectas

UNIDAD 3 Funciones y gráficas

3.3

3.3 Rectas

1

Rectas

OBJETIVOS


Encontrar la ecuación de una recta, dados algunos eleme ntos de ella y dibujar su
representación gráfica.



Determinar si dos rectas son paralelas o perpendiculares.



Encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas.



Resolver problemas cuyo planteamiento requiere la construcción de un modelo lineal.

La definición dada en la geometría plana de línea recta no es de mucha ayuda en geometría analítica,
pero lo que sí está claro es que hay una única recta que pasa por dos puntos. Como una recta es un
objeto geométrico, al colocarla en un sistema de coordenadas debe tener una ecuación de la misma
manera que la tiene una circunferencia.
Para obtener la ecuación de la recta primero es necesariodefinir el concepto de pendiente de una
recta

Pendiente de una recta
El concepto de pendiente es fundamental en el estudio de las rectas y se define como

Pendiente de una recta
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) , está
dada por

m

y2  y1
y

x2  x1
x

donde x1  x2

La pendiente es una medida de la inclinación de la recta , como se ilustra enla figura siguiente

Cuando x1  x2 la pendiente no está definida y corresponde al caso especial de una recta vertical,
cuando y1  y2 la pendiente es igual a cero y corresponde al caso particular de una recta horizontal.
El numerador  y  y2  y1 es el desplazamiento vertical y  x  x2  x1 es el desplazamiento
horizontal desde el punto P1 al punto P2 . De esta forma la pendiente m puedeinterpretarse como el
desplazamiento vertical dividido entre el desplazamiento vertical.

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3.3 Rectas

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La pendiente de una recta es positiva al observar la recta de izquierda a derecha los valores de y
aumentan. La pendiente es negativa si al observar la recta de izquierda a derecha los valores de y
disminuyen. En la siguiente figura se muestran varias rectas y el valorde su pendiente.
m  4
m  2

y

m 4
m 2

m 1

m  1

m 

m   12

1
2

m 

m   14

m 0
x

1
4

Ejemplo 1: pendiente y representación gráfica de una recta
Dibuje la representación gráfica y encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 3,4) y
(1,  2)

Solución
La figura siguiente muestra la gráfica de la recta

Ahora se utiliza la fórmula para calcular la pendientem

y2  y1
4  ( 2)

 6  3
x2  x1
 3  (1)
4
2

Ecuación de la recta
Para obtener la ecuación de una l recta que pasa por el punto P1 ( x1 , y1 ) y tiene pendiente m, considere
un punto cualquiera P ( x , y) que esté sobre la recta como se muestra en la figura siguiente
y

P ( x, y)
P1 ( x1 , y1 )

x

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3.3 Rectas

3

Como la pendiente de una recta es única, esclaro que al calcular la pendiente entre los puntos P y
P1 debe ser igual a m, es decir

y  y1
m
x  x1
La ecuación anterior puede escribirse como
y  y1  m( x  x1 )

Que es conocida como la forma punto-pendiente de una recta.

La forma punto-pendiente de una recta
La ecuación de una recta que pasa por el punto P ( x1 , y1 ) y que tiene pendiente m
es
y  y1  m( x  x1 )

Al despejar y en laecuación anterior y ordenar algunos términos se obtiene la ecuación

y  y1  m( x  x1 )
y  m( x  x1 )  y1
y  mx  mx1  y1
y  mx  ( mx1  y1 )
Si en la ecuación anterior se sustituye b  mx1  y1 se obtiene la ecuación

y  mx  b
Llamada forma pendiente ordenada en el origen de la recta, ya que al hacer x  0 , se obtiene
y  b que es la intercepción de la recta con el eje y como semuestra en la figura siguiente
y
P ( x, y)

(0,b)

x

La forma pendiente ordenada en el origen
La ecuación de una recta que tiene pendiente m e intercepción con el eje y en el
punto (0,b) es

y  mx  b

Si en la ecuación punto-pendiente de la recta se trasladan todos los términos al lado izquierdo u
se iguala a cero, se obtiene la ecuación

y  y1  m( x  x1 )
y  m( x  x1 )  y1

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