Rectes en el pla (resum)

Xavier Rabasa Arévalo

http://www.xtec.net/~jrabasa

RECTES EN EL PLA
RESUM TEÒRIC
1.EQUACIONS DE LA RECTA
2.SEGMENTS. PUNT MIG. PUNTS DE TALL. PUNT SIMÈTRIC
3.DETERMINACIÓ DE PARÀMETRES
EINES
OPERACIONS AMB VECTORS
(2,4)+(5,8) = (2+5,4+8)
7·(2,4)=(7·2,7·4)

(2,4) –(5,8)=(2–5,4–8)
-1·(2,4)=(-2,-4)

IDENTITAT DE DOS VECTORS
⎧f(x)=a
( f(x) , g(x) ) = ( a , b ) ⇒ ⎨
⎩ g( x ) = bMÒDUL D’UN VECTOR

v = (a,b)

→

v = a 2 + b2

VECTOR UNITARI D’UN VECTOR v = (a,b)
v
1
u= =
( a ,b )
a2 + b2
v
VECTORS PERPENDICULARS A UN VECTOR (a,b)
(-b,a) i (b,-a)

PRODUCTE ESCALAR DE VECTORS que formen un angle
ells.
Forma cartesiana ( a , b ) · ( c , d ) = a c + b d

α

entre

1

Xavier Rabasa Arévalo

Forma polar

http://www.xtec.net/~jrabasa(a,b)·(c,d) =

a 2 + b 2 · c 2 + d 2 · cos α

CONDICIÓ DE PARAL·LELISME dels vectors (a,b) i (c,d)
ad = bc
CONDICIÓ DE PERPENDICULARITAT dels vectors (a,b) i (c,d)
ac+bd=0
ANGLE ENTRE DOS VECTORS (a,b) i (c,d)
ac+bd=

a 2 + b 2 · c 2 + d 2 · cos α → cos α =

VECTOR QUE UNEIX DOS PUNTS
AB = (c - a , d – b)

ac + bd
a2 + b2 · c2 + d 2 ·

A(a,b) i B(c,d)

PUNT MIG M ENTRE DOS PUNTS A i BA+ B
A=2M - B
B=2M - A
M=
2
PUNTS ( P 1 , .... , P N - 1 ) QUE DIVIDEIXEN UN SEGMENT AB
EN n PARTS IGUALS
k
( n − k ) A + kB
Pk = A + ( B − A ) =
n
n

2

Xavier Rabasa Arévalo

http://www.xtec.net/~jrabasa

RELACIÓ ENTRE ELS VÈRTEXS D’UN PARAL·LELOGRAM
ABCD
A+C=B+D
BARICENTRE D’UN TRIANGLE A B C
G=(A+B+C)/3
EQUACIONS DE LA RECTA QUE PASSA PER UN PUNT A(x0,y0)
I PORTA LADIRECCIÓ D’UN VECTOR v =(a,b).
vectorial
paramètrica

( x , y ) = ( x0 , y0 ) + λ ( a , b )

⎧ x = x0 + λ a
⎨
⎩ y = y0 + λb

contínua

x − x0 y − y 0
=
a
b

explícita

b
b
y = ( x − x0 ) + y0 pendent m =
a
a

implícita

b x – a y + ( a y0 – b x0 ) = 0

DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS A(a,b) i B(c,d)
AB = ( c − a )2 + ( d − b )2

3

Xavier Rabasa Arévalohttp://www.xtec.net/~jrabasa

DISTÀNCIA ENTRE PUNT A( x0 , y 0) I RECTA a x + b y + c = 0
d=

ax0 + by0 + c
a2 + b2

RECTES PARAL·LELES A LA RECTA {a x+b y+c=0}
ax+by+?=0
RECTES PERPENDICULARS A LA RECTA {a x+b y+c=0}
bx–ay+?=0
RECTES QUE PASSEN PER UN PUNT (a,b)
y=m(x–a)+b
BISECTRIUS DE DUES RECTES {ax+by+c=0} i {a’x+b’y+c’=0}

ax + by + c
a' x + b' y + c'
=±
a2 + b2
a' 2 +b' 2
ESTRATÈGIESPROBLEMES DE DISTÀNCIES
Entre dos punts
- mòdul del vector que uneix els dos punts
Entre un punt i una recta
4

Xavier Rabasa Arévalo

http://www.xtec.net/~jrabasa

- aplicar la fórmula
Entre dues rectes paral·leles
- triar un punt de la primera recta
- calcular la distància del punt a la segona recta
DETERMINACIÓ D’UN PUNT
Simètric del punt A respecte de un altre punt B
- B ésel punt mig entre P i A P = 2 B – A
Simètric del punt A respecte de una recta (r)
- recta perpendicular a (r) que passa per A
- punt M intersecció d’ambdues rectes
- M és el punt mig entre P i A P = 2M – A
Que pertany a una recta ( r ) i té una certa distància respecte d’un
punt A
- punt P genèric de la recta en funció d’un paràmetre
- imposar que la distància entre P i A sigui ladesitjada (dues
solucions)
DETERMINACIÓ D’UNA RECTA
Que passa per un punt i és paral·lela a una altra recta
- feix de rectes paral·leles a la recta
- d’aquest feix determinar la que passa pel punt
Que passa per un punt i és perpendicular a una altra recta
- feix de rectes perpendiculars a la recta
- d’aquest feix determinar la que passa pel punt
Que és paral·lela a una altra recta i té una certadistància
- feix de rectes paral·leles a la recta
5

Xavier Rabasa Arévalo

http://www.xtec.net/~jrabasa

- imposar que la distància entre la recta i el feix sigui la
desitjada ( surten dues solucions )
Que passa per un punt A i forma un cert angle amb una altra recta
- punt P genèric de la recta en funció d’un paràmetre
- imposar que els vectors AP i el director de la recta formin...