RECURSIVIDAD

Cap´
ıtulo 2

Derivaci´n num´rica
o
e
Contenidos del cap´
ıtulo
2.1

F´rmulas de diferencias de dos puntos . . . . . . . . . . . . .
o

22

2.2

Influencia de los errores de truncaci´n y de redondeo. . . .
o

23

2.3

F´rmulas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

24

2.4

Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26Consideremos una funci´n f (x) de la cual se conoce un conjunto discreto de valores
o
(x0 , f0 ), (x1 , f1 ),...,(xn , fn ). El problema que vamos a abordar es el de calcular la derivada
de la funci´n en un punto x que en principio no tiene porqu´ coincidir con alguno
o
e
de los que figuran en los datos de que disponemos. La forma m´s sencilla de resolver
a
el problema de la diferenciaci´nnum´rica consiste en estimar la derivada utilizando
o
e
f´rmulas obtenidas mediante la aproximaci´n de Taylor, que se denominan f´rmulas de
o
o
o
diferencias finitas.
Es importante tener en cuenta que el proceso de diferenciaci´n num´rica es inestable.
o
e
Los errores que tengan los datos, por ejemplo los cometidos en la adquisici´n de los
o
mismos o los debidos al redondeo aumentanen el proceso de diferenciaci´n como veremos
o
a lo largo de ´ste cap´
e
ıtulo.
21
Versi´n del 23/1/2007
o
http://matematicas.uclm.es/ind-cr/metnum/index.html

22

2.1

M´todos Num´ricos
e
e

F´rmulas de diferencias de dos puntos
o

Recordemos que la definici´n de derivada implica el c´lculo de un l´
o
a
ımite
f (x + h) − f (x)
h→0
h

f ′ (x) = l´
ım

Este proceso depaso al l´
ımite presenta distintos problemas para ser realizado en situaciones pr´cticas donde no se conozca la forma exp´
a
ıcita de f ′ (x). En primer lugar un
l´
ımite no puede calcularse de modo aproximado en un computador donde los n´meros
u
que se manejan son finitos. A pesar de todo es de esperar que si la funci´n f (x) no se
o
comporta mal y h0 es un n´mero finito pero peque˜o secumpla:
u
n
f ′ (x) = l´
ım

h→0

f (x + h0 ) − f (x)
f (x + h) − f (x)
≃
h
h0

Es m´s, la misma definici´n de la derivada implica que si f ′ (x) existe, entonces hay
a
o
alg´n h0 a partir del cual nuestra aproximaci´n dista menos de una cantidad δ del valor
u
o
real para la derivada. El problema es que esto s´lo es cierto con precisi´n infinita ya que
o
o
h0 puede ser tanpeque˜o que no pueda representarse en el ordenador o que la diferencia
n
f (x + h0 ) − f (x) est´ seriamente afectada por el error de redondeo.
e
La ecuaci´n (2.1) es la forma m´s sencilla de aproximar una derivada conocidas f (x)
o
a
y f (x + h0 ). El siguiente teorema nos proporciona informaci´n sobre la precisi´n de esta
o
o
aproximaci´n.
o
Teorema. Sea f (x) ∈ C 1 (a, b) y existe f ′′(x) en (a, b), entonces se cumple que:
f ′ (x) =

f (x + h) − f (x) h ′′
− f (z), x < z < x + h
h
2

Demostraci´n. Escribamos la aproximaci´n de Taylor para la funci´n en un punto x+h:
o
o
o
f (x + h) = f (x) + hf ′ (x) +

h2 ′′
f (z), x < z < x + h
2

Reordenando la expresi´n anterior queda demostrado el teorema.
o
El teorema anterior nos indica que el error cometido alaproximar la derivada primera
por su f´rmula de diferencia adelantada es una funci´n lineal de h. Cuanto menor sea
o
o
h (o sea al tomar valores de f (x) m´s cercanos) la derivada num´rica ser´ m´s precisa.
a
e
a a
Este error se denomina error de truncaci´n o discretizaci´n y puede acotarse f´cilmente,
o
o
a
obteni´ndose que: E ≤ h m´x(x,x+h) |f ′′ (z)|. En realidad, para datos obtenidos apartir
e
a
2
de una tabla esta acotaci´n no es de gran utilidad directa ya que si no se conoce la
o
derivada primera menos a´n se conocer´ la segunda pero al menos nos permite conocer
u
a
el orden de aproximaci´n de la f´rmula.
o
o
Geom´tricamente el error O(h) procede del hecho de aproximar la derivada por la
e
pendiente de la cuerda que une los puntos f (x) y f (x + h), Por otro...