recursividad

Recurrencia, recursión o recursividad es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definición. Siendo un poco más precisos, y para evitar el aparente círculo sin fin en esta definición:
Un problema que pueda ser definido en función de su tamaño, sea este N, pueda ser dividido en instancias más pequeñas (< N) del mismo problema y se conozca la solución explícita a lasinstancias más simples, lo que se conoce como casos base, se puede aplicar inducción sobre las llamadas más pequeñas y suponer que estas quedan resueltas.
Para que se entienda mejor a continuación se exponen algunos ejemplos:
Factorial: Se desea calcular (el factorial de , que se define como el producto de todos los enteros positivos de a ). Se puede definir el problema de forma recurrente como ;como es menor que podemos aplicar inducción por lo que disponemos del resultado. El caso base es que es .
Algoritmo de ordenación por fusión: Sea v un vector de n elementos, podemos separar el vector en dos mitades. Estas dos mitades tienen tamaño n/2 por lo que por inducción podemos aplicar la ordenación en estos dos subproblemas. Una vez tenemos ambas mitades ordenadas simplemente debemosfusionarlas. El caso base es ordenar un vector de cero o un elemento, que está trivialmente ordenado y no hay que hacer nada.
En estos ejemplos podemos observar como un problema se divide en varias (una o más) instancias del mismo problema, pero de tamaño menor gracias a lo cual se puede aplicar inducción, llegando a un punto donde se conoce el resultado (el caso base).
Nota: aunque los términos"recursión" y "recursividad" son ampliamente empleados en el campo de la informática, el término correcto en castellano es recurrencia. Sin embargo este último término es algo más específico. Véase relación de recurrencia.
Recursión en matemáticas
Conjuntos definidos de forma recurrente
Un ejemplo de conjunto definido de forma recurrente es el de los números naturales, es decir, el conjunto de losnúmeros enteros no negativos:1
1. pertenece a ℕ.
2. Si pertenece a ℕ, entonces pertenece a ℕ.
3. Si verifica las anteriores condiciones, entonces está incluido en ℕ [cita requerida].
Funciones definidas de forma recurrente
Aquellas funciones cuyo dominio es un conjunto a lo más enumerable 2 pueden ser definidas de forma recurrente.
Un ejemplo conocido es la definición recurrente de la funciónfactorial n!:

Veamos cómo se usa esta definición para hallar el valor del factorial de 3:

Otros ejemplos de funciones y sucesiones matemáticas definidas de forma recursiva son:
Sucesión de Fibonacci — f(0)= 1, f(1) = 1; f(n) = f(n-1) + f(n-2) para n ≥ 2.
Números de Catalan — C(2n, n)/(n+1)
Función de Ackermann
Constantes
La razón áurea se puede definir como sigue: , como una fraccióncontinua en que todos los números son unos.
De forma similar, la identidad da lugar a una definición como fracción continua de cualquier raíz cuadrada:3
Resolución de problemas
Resolución de ecuaciones homogéneas de primer grado, segundo orden:
a) Se pasan al primer miembro los términos , , , los cuales también podrían figurar como , ,
b) Se reemplaza por , por y por , quedando una ecuación desegundo grado con raíces reales y distintas y .
c) Se plantea
d) Debemos tener como dato los valores de los dos primeros términos de la sucesión: y . Utilizando estos datos ordenamos el sistema de 2x2:

La resolución de este sistema nos da como resultado los valores y , que son números reales conocidos.
e) La solución general es:

Recursión en informática
Artículo principal: Algoritmorecursivo
En programación, un método usual de simplificación de un problema complejo es la división de este en subproblemas del mismo tipo. Esta técnica de programación se conoce como divide y vencerás y es el núcleo en el diseño de numerosos algoritmos de gran importancia, así como también es parte fundamental de la programación dinámica.

El ejemplo del cálculo recursivo del factorial de un...