Recursos humanos

Puntos singulares regulares

Supondremos en esta sección que para [e] .00+.(t).0+b(t). = 0 es t = to un
punto singular, es decir, que o .(t) o b(t) o las dos no son analíticas en t=to ,con lo queno es aplicable el método de la sección anterior. Sin embargo, interesa
precisamente en muchas ocasiones conocer el comportamiento de las soluciones
de [e] en las cercanías de sus puntos singulares.En general se podrá decir poco sobre
este comportamiento, salvo para un tipo particular de puntos sólo débilmente
singulares: los singulares regulares que vamos a definir.
Suponemos a partir deahora que el punto singular que tratamos es t=0 . Sabemos
que esto no supone pérdida de generalidad ya que en el caso de que queramos
estudiar las soluciones cerca de un to 6=0 el cambio s=ttotraslada el problema
al estudio de las soluciones cerca de 0 de la ecuación en s .
Conviene escribir [e] de otra forma. Multiplicándola por t2 y llamando .+(t)=t.(t)
y b+(t)=t2b(t) obtenemos:
[e*] t2.00+ t .+(t).0 + b+(t). = 0
t=0 es punto singular regular de [e] - [e*] si
.+(t)=t.(t) y b+(t)=t2b(t) son analíticas en t=0 .
Cerca del punto singular. Las funciones A, B y C son polinomios que notienen factores comunes de modo de los puntos singulares de la ecuación (1) son simplemente aquellos en que A(x) se anula. Por ejemplo, x = 0 es el único punto singular de la ecuación de Bessel de ordenn,
x2y’’ + xy’ + (x2 – n2)y = 0
En tanto que la ecuación de Legendre de orden n
(1 – X2)y’’ – 2xy’ + n(n + 1)y = 0,
Tiene los dos puntos singulares x = -1 y x = 1. De ello resulta que algunas delas características de la soluciones de ecuaciones muy importantes para las aplicaciones son determinadas en gran medida por su comportamiento cerca de los puntos singulares.
Restringiremos nuestraatención al caso en el que x = 0 es un punto singular de la ecuación (1). Una ecuación diferencial que tenga como punto singular de x = a se transforma fácilmente mediante la sustitución t = x –a en...