recursos naturales
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Publicado: 20 de febrero de 2014
1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.
Forma Polar
El producto de dos número complejos diferente de cero está dado en la forma polar por el producto de sus valores absolutos y lasuma de sus argumentos. El cociente de dos números complejos diferentes de cero está dado por el cociente de sus valores absolutos y la diferencia de sus argumentos.
=Argumento de un númerocomplejo=
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).
Forma exponencial
A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar conla forma trigonométrica en vez de con la forma binomica: Sea Z un número complejo cualquiera su representación prdra experesarse de las siguientes maneras:
1.5 Teorema de De Moivre, potencias yextracción de raíces de un número complejo.
Teorema de DeMoivre y Potencias
De la figura 1.1. tenemos dada la representación polar de un número complejo
Donde la formula se usa cuando
eneste caso
En general, para cualquier entero positivo k.
a esto se le conoce como Teorema de DeMoivre aplicable así mismo a las potencias de números complejos
Raíces de un número complejoDado un número complejo que se define tal que i2=-1. Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también tenemos (-i2)2=i2=-1, así que (−i) es tambiénuna raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los números reales, decimos que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la raíz cuadradaprincipal de −x se cumple la siguiente igualdad:
es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que i2=-1, por lo que entonces:
Si se desea encontrarla raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad
Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo z, no podemos...
Forma Polar
El producto de dos número complejos diferente de cero está dado en la forma polar por el producto de sus valores absolutos y lasuma de sus argumentos. El cociente de dos números complejos diferentes de cero está dado por el cociente de sus valores absolutos y la diferencia de sus argumentos.
=Argumento de un númerocomplejo=
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).
Forma exponencial
A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar conla forma trigonométrica en vez de con la forma binomica: Sea Z un número complejo cualquiera su representación prdra experesarse de las siguientes maneras:
1.5 Teorema de De Moivre, potencias yextracción de raíces de un número complejo.
Teorema de DeMoivre y Potencias
De la figura 1.1. tenemos dada la representación polar de un número complejo
Donde la formula se usa cuando
eneste caso
En general, para cualquier entero positivo k.
a esto se le conoce como Teorema de DeMoivre aplicable así mismo a las potencias de números complejos
Raíces de un número complejoDado un número complejo que se define tal que i2=-1. Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también tenemos (-i2)2=i2=-1, así que (−i) es tambiénuna raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los números reales, decimos que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la raíz cuadradaprincipal de −x se cumple la siguiente igualdad:
es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que i2=-1, por lo que entonces:
Si se desea encontrarla raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad
Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo z, no podemos...
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