Redes Bayecianas

REDES BAYESIANAS
Antes de definir formalmente las redes bayesianas, vamos a definir algunos conceptos de teoría de grafos y teoría de la probabilidad:
Definiciones previas
Arco. Es un par ordenado (X, Y). Esta definición de arco corresponde a lo que en otros lugares se denomina arco dirigido. En la representación gráfica, un arco (X, Y) viene dado por una flecha desde X hasta Y.
Grafodirigido. Es un par G = (N, A) donde N es un conjunto de nodos y A un conjunto de arcos definidos sobre los nodos.
Grafo no dirigido. Es un par G = (N, A) donde N es un conjunto de nodos y A un conjunto de arcos no orientados (es decir, pares no ordenados (X,Y)) definidos sobre los nodos.
Camino. Es una secuencia ordenada de nodos (Xi1, . . . , Xir) tal que  j = 1, ..., r-1, ó bien el arco Xj Xj+1Î A o bien el arco Xj+1 Xj  A.
Camino dirigido. Es una secuencia ordenada de nodos (Xi1, . . . , Xir) tal que para todo j = 1, ..., r-1 el arco Xj Xj+1  A.
Ciclo: es un camino no dirigido que empieza y termina en el mismo
nodo X.
Grafo acíclico: es un grafo que no contiene ciclos.
Padre. X es un padre de Y si y sólo si existe un arco X Y. Se dice también que Y es hijo de X. Al conjuntode los padres de X se representa como pa(X), y al de los hijos de X por S(X).

Antepasado o ascendiente. X es un antepasado o ascendiente de Z si y sólo si existe un camino dirigido de X a Z.
Conjunto ancestral de un nodo X es un conjunto que contiene a X y a todos sus antepasados.
Descendiente. Z es un descendiente de X si y sólo si X es un antepasado de Z. Al conjunto de los descendientes deX lo denotaremos por de(X).
Variable proposicional es una variable aleatoria que toma un conjunto exhaustivo y excluyente de valores. La denotaremos con letras mayúsculas, por ejemplo X, y a un valor cualquiera de la variable con la misma letra en minúscula, x.
Dos variables X e Y son independientes si se tiene que P(X/Y) = P(X). De esta definición se tiene una caracterización de laindependencia que se puede utilizar como definición alternativa: X e Y son independientes sí y sólo sí P(X, Y) = P(X) · P (Y).
Dos variables X e Y son independientes dado una tercera variable Z si se tiene que P(X/Y,Z) = P(X/Y). De esta definición se tiene una caracterización de la independencia que se puede utilizar como definición alternativa: X e Y son independientes dado Z sí y sólo sí P(X, Y/Z) =P(X/Z) · P (Y/Z). También se dice que Z separa condicionalmente a X e Y.
Definición
Una red bayesiana es:
• Un conjunto de variables proposicionales, V.
• Un conjunto de relaciones binarias definida sobre las variables de V, E.
• Una distribución de probabilidad conjunta sobre las variables de V.
Tales que:
• (V, E) forman un grafo acíclico, conexo y dirigido G.
• (G, P) cumplen las hipótesisde independencia condicional, también llamadas de separación direccional, que se enuncian a continuación.
Hipótesis de independencia condicional.
Un grafo acíclico conexo y dirigido G = (V, E) y una distribución de probabilidad conjunta P definida sobre las variables del grafo se dice que cumplen las hipótesis de independencia condicional, si para toda variable X de V se tiene que el conjunto delos padres directos de X, que denotaremos por pa(X) separa condicionalmente a X de todo otro nodo Y de la red que no sea X, ni sus descendientes ni sus padres.
Ejemplos:
Comprobando si una red es bayesiana
Consideremos la red dada en la siguiente figura

¿Es esto una red bayesiana?
En este caso, la condición de independencia condicional se satisface si C y B son independientes dado su padrecomún A, es decir, queda reducida a probar que P(B/A,C) = P(B/A). Nótese que esta red presenta la misma estructura que la del ejemplo 2, y la hipótesis que ahora tenemos que demostrar es la misma que tuvimos que hacer allí para poder seguir con los cálculos.
Para probar esto, tendríamos que ver que:
P(b1/c1, a1) = P(b1/c2, a1) = P(b1/a1)
P(b1/c1, a2) = P(b1/c2, a2) = P(b1/a2)
Puesto que las...