Redes Complejas

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA
Centro Universitario de Lagos de Moreno
Estudio de sincronización en Redes Complejas
Asesor

Dr. Rider Jaimes Reátegui
SNI-I CULAGOS UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA

Isaac Torres Michel
Mecatrónica (IME) CULAGOS UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA

Introducción
En la actualidad, un tema de mucho interés es la sincronización de un gran número de sistemas dinámicosconectados entre sí los cuales debido a sus topologías conforman redes complejas. Estas redes las podemos encontrar en el día a día en un amplio número de ciencias (Biología, Física, Neurología, Sociología, etc.) 1. Sin embargo, el trabajar con estos sistemas en la actualidad presenta un reto muy grande, esto es que su misma complejidad hace imposible en muchos casos su estudio.
Figura 1. Three corticalmouse neurons , a typical cortical neuron receives 1,000 to 10,000 contacts from other neurons and contacts 100 to 1,000 additional neurons. – Mark Miller
Experimental approach to the study of complex network synchronization using a single oscillator [RAPID COMMUNICATIONS: PHYSICAL REVIEW E79, 055202(R) (2009)].
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Introducción
Por ejemplo, la simple simulación de una red sencillaintegrada por seis elementos caóticos conforma el análisis y solución de 18 ecuaciones diferenciales. En el campo experimental actualmente no existen muchos proyectos debido al problema que supondría el trabajar con este mismo sistema. Por lo cual en el presente trabajo se propone un método el cual intenta resolver esta problemática abordando el procesamiento matemático desde otra perspectiva. Estosería el manejo de las soluciones de las ecuaciones diferenciales de forma secuencial para cada nodo y de esta manera agilizar los tiempos de cálculo.
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Figura 2. Internet in America– Kaspersky 2006

Introducción
Se propone un nuevo método numérico basado en la simulación de la dinámica de un solo oscilador caótico para el estudio de grandes redes formadas por sistemas idénticos acoplados demanera unidireccional. Este método estará basado en la técnica experimental desarrollada por “A. N. Pisarchik, R. Jaimes-Reátegui, R. Sevilla-Escoboza, and S. Boccaletti” en el articulo Experimental approach to the study of complex network synchronization using a single oscillator [RAPID COMMUNICATIONS: PHYSICAL REVIEW E79, 055202(R) (2009)]. El beneficio obtenido al aplicar este nuevo método serefleja al simular numéricamente la dinámica en redes a mayor escala, esto debido a que simplifica el diseño del algoritmo al implementar la topología de la red y reduce el costo computacional; los cuales con métodos tradicionales como solución de ecuaciones diferenciales hacían difícil el realizar este mismo procedimiento.

Para los resultados que se presentan, se utilizara el modelo matemáticode un oscilador Rössler para la dinámica de los nodos, y se analizara la topología de una red de información compuesta por 6 nodos acoplados de manera unidireccional.
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Oscilador Rössler
El modelo matemático que se presenta es el modelo del circuito experimental desarrollado para el articulo mencionado 1. anteriormente
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z

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Para simular su dinámica comúnmente se utiliza elmétodo Runge Kutta de 4to orden.

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Modelo matemático
4 2 0 -5 -10 y -4 -2 x 0

0 5

dx   (x   y  z ) dt dy   (  x  y  0.02 y ) dt dz   (  g ( x)  z ) dt

Figura 3. Atractor generado mediante: α=104, β=0.5, Γ=0.05, γ=0.166, λ=1, μ=15

0, g ( x)    ( x  3),
Ecuaciones 1

x  3  x  3

Experimental approach to the study of complex network synchronizationusing a single oscillator [RAPID COMMUNICATIONS: PHYSICAL REVIEW E79, 055202(R) (2009)].
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Synchro Master-Slave
Master 5 5 Slave 0 0

-5 -5 0 5

-5 -5 0 5

Sincronizacion Xm-Xs coupling:96 5

Sincronizacion Ym-Ys coupling:96 5

dx   (x   y M  z ) dt dy   (  x  y M  0.02 y M ) dt dz   (  g ( x )  z ) dt

0

0

-5 -5 0 5

-5 -5 0 5

dx   (x...