Redes electricas

Dise˜ o mediante Redes de Adelanto y
n
Atraso de Fase
Sistemas Autom´ticos
a

20 de mayo de 2004
Enunciado:
Un proceso industrial dado tiene la siguiente funci´n de transferencia:
o
G(s) =

20
(s + 1)(s + 2)(s + 5)

Se desea dise˜ar un sistema de control con realimentaci´n unitaria para cumn
o
plir
erpp ≤ 10%
MF ≥ 40o

1

Red de adelanto de fase
Especificaciones en r´gimenpermanente
e
El error en r´gimen permanente tiene que ser menor del 10%, por tanto,
e
erpp ≤ 10% →

1
≤ 0.1 → Kp ≥ 9 → Kreg ≥ 4.5
1 + Kp

es decir, dado que la ganancia est´tica G(0) del sistema es 2, debemos
a
multiplicar la ganancia actual en un factor Kreg = 4.5 para poder tener
una ganancia en bucle abierto en continua de 9.
Margen de fase:
Aumentar la ganancia, aunque suelehacer al sistema m´s r´pido (increa a
mento en el ancho de banda) habitualmente trae aparejado un deterioro
en la din´mica (disminuci´n del MF). En efecto, si dibujamos la curva
a
o
de Kreg G(s), vemos que el margen de fase es muy escaso (unos 7o ).
Hasta 40o a´n faltan 33o . Como debemos a˜adir un margen de seu
n
o
o
guridad de 5 a 12 aproximadamente, podemos redondear el aporterequerido a 40o (margen de seguridad 7o ). Para tener un aporte de 40o
se requiere
α=

1 − sin 40o
1 − 0.6428
=
= 0.2174 → (redondeando) → α = 0.2
1 + sin 40o
1 + 0.6428

El valor de α obtenido corresponde a la relaci´n entre polo y cero
o
c
α=
p
El regulador final tendr´ la forma
a
R(s) = Kreg ·

p s+c
·
c s+p

cuya ganancia est´tica sigue siendo Kreg pues el t´rmino encerrado
ae
entre par´ntesis tiene ganancia est´tica 1. En la figura adjunta se
e
a
puede ver la anatom´ en frecuencia de una red de adelanto del tipo
ıa
P D(s) =

p s+c
1 s+c
Ts + 1
·
= ·
=
c s+p
α s+p
αT s + 1

Figura 1: Anatom´ en frecuencia de una red de adelanto de fase.
ıa
Ya tenemos la relaci´n entre p y c, es decir, a cuanta distancia deben
o
estar polo y cero para aportar 40o. Falta determinar la posici´n.
o
La m´xima aportaci´n de fase ψmax se produce a la frecuencia corresa
o
pondiente a la media geom´trica de p y c
e
√
ωψmax = p · c
A dicha frecuencia, el aporte de m´dulo es
o
20 log10

p
= 20 log10 |2.23612| ≈ 7dB
c

Para que el m´ximo aporte de fase ψmax se produzca exactamente en
a
la nueva frecuencia de cruce de ganancia ωcg deberemos hacercoincidir
el punto en el que el Kreg G(s) tiene −7dB con la frecuencia de m´ximo
a

aporte de fase. Yendo al Bode, puede comprobarse que la frecuencia a
la que Kreg G(s) tiene ganancia −7dB es
ω−7dB = 6rads/s
Esta frecuencia define la posici´n en la que debemos situar la frecuencia
o
media (geom´trica) de la red de adelanto. Por tanto
e

p = 6 · 2.2361 = 13.41 rads/s
6
c =
= 2.68rads/s
2.2361

El regulador, por tanto quedar´
a
R(s) = 4.5 · 5 ·

s + 2.68
s + 13.41

Comprobaci´n
o
Trazando mediante el computador el diagrama de Bode real, comprobamos
que el margen de fase es de 32.2o , ligeramente inferior al especificado. Esto
puede corregirse incrementando, por ejemplo el margen de fase aportado,
lo que nos dar´ un regulador con un α m´s peque˜a, es decir, unaacci´n
ıa
a
n
o
diferencial m´s pura.
a
El ciclo completo requiere iterar sobre el dise˜o original, visualizando
n
tambi´n, mediante simulaci´n las respuestas al escal´n, acci´n de control,
e
o
o
o
etc. hasta conseguir un dise˜o satisfactorio.
n

Diagrama de Bode
20
G
G.Kreg

0

Amplitud (dB)

−20

−40

−60

−80

−100
−2
10

−1

10

0

10

1

2

1010

0
G
G.Kreg

Fase (º)

−90

−180

−270

−2

10

−1

10

0

10
ω (rads/seg)

1

10

2

10

Figura 2: Bode (asint´tico) de la funci´n de bucle abierto para el sistema
o
o
original G(jω) y del sistema original con la ganancia requerida, Kreg G(jω)

Diagrama de Bode
20
G
Kreg*G
C*G
0

Amplitud (dB)

−20

−40

−60

−80

−100
−2
10...