Redes neuronales y series de furier

ECUACIONES DIFERENCIALES Y SERIES

NOMBRES:

Jorge Ricardo Lozano del Castillo Velasco

Juan Carlos Bastida Monroy

Jesús Velasco Ferrer

Título: Redes Neuronales y Series de Fourier

INTRODUCCIÓN

Con el fin de analizar profundamente y entender los objetivos de este proyecto, hemos pensado, definir primeramente lo que son las redes neuronales artificiales y de igual manera lasseries de Fourier, como se analizará en este proyecto, hay un lazo estrecho entre ambas, ya que la aplicación de las series de Fourier es prácticamente indispensable para realizar arreglos neuronales y lógicos aplicados a diferentes modelos tecnológicos.

Primeramente definiremos y analizaremos brevemente que son las series de Fourier.

Series de Fourier
Una serie de Fourier es una serie infinitaque converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe almatemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
La idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de periodo T puede ser expresada comouna suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo periodo T . El problema aparece naturalmente en astronomía, de hecho Neugebauer (1952) descubrió que los babilonios utilizaron una forma primitiva de las series de Fourier en la predicción de ciertos eventos celestiales.
La historia moderna de las series de Fourier comenzó con D’Alembert (1747) y su tratado de las oscilaciones de las cuerdasdel violín. El desplazamiento u = u(t, x) de una cuerda de violín, como una función del tiempo t y de la posición x, es solución de la ecuación diferencial

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sujeto a las condiciones iniciales u(t, 0) = u(t, 1) = 0 para t ≥ 0, ∂u (0, x) = 0 ∂t
para 0 < x < 1. La solución de este problema es la superposición de dos ondas viajando en direcciones opuestas a la velocidad 1, como lo expresa laformula de D’Alembert:

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En la cual f es una función impar de periodo 2 que se anula en los puntos x = 0, ±1, ±2, . . . Euler en 1748 propuso que tal solución podía ser expresada en una serie de la forma:

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Consecuentemente:

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Las mismas ideas fueron luego expuestas por D. Bernoulli y LaGrange. La formula
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para calcular los coeficientes apareció porprimera vez en un artículo escrito por Euler en 1777.
La contribución de Fourier comenzó en 1807 con sus estudios del problema del flujo del calor
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presentado a la Academie des Sciences (Academia de Ciencias) en 1811 y publicado en parte como la célebre Teoría analítica de la chaleur en 1822. Fourier hizo un intento serio por demostrar que cualquier función diferenciable puede ser expandida enuna serie trigonométrica. Una prueba satisfactoria de este hecho fue dada por Dirichlet en 1829. Riemann también hizo contribuciones importantes al problema.
Modernamente el análisis de Fourier ha sido impulsado por matemáticos de la talla de Lebesgue, Hardy, Littlewood, Wiener, Frobenius, Selberg, Weil y Weyl entre otros.
Espacios de Hilbert
Definición 1. Un espacio euclídeo es un espaciovectorial complejo H junto con una función que asocia a cada par ordenado de vectores x, y [pic] H un número complejo (x, y), llamado producto interior de x e y, de manera tal que se verifican las siguientes propiedades:
1. (x, y) = [pic], (la barra denota conjugación compleja).
2. (x+y,z)=(x,z)+(y,z),para todo x,y,z ∈H.
3. (αx,y) = α(x,y), para todo x,y ∈ H y para todo escalar α.
4. (x,x)≥0,...