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INTEGRACIÓN ENTRE RELACIONES DE RECURRENCIA Y FUNCIONES GENERATRICES
Malva Alberto de Toso; Yanina Fumero

Universidad Nacional del Litoral−Universidad Tecnológica Nacional Prov. de Santa Fe (Argentina) mtoso@satlink.com.ar

Este artículo está diseñado en tres etapas integradas: • Revisar elementos conceptuales y procedimentales básicos acerca de algunos contenidos propios de la matemáticadiscreta relacionados con las reglas de la suma y del producto, números combinatorios y teorema binomial. • Actualizar los contenidos acerca de las relaciones de recurrencia y las funciones generatrices. • Mostrar el diseño de una intervención didáctica que nos permitirá abordar algunos problemas resueltos con los métodos tradicionales ya puestos en escena para intentar ahora la resolución con otraestrategia que proviene del campo conceptual de las funciones generatrices. Elementos de la teoría del conteo La Combinatoria estudia las diferentes maneras en que se pueden llevar a cabo distintas tareas para ordenar y/o agrupar un número finito de objetos siguiendo ciertas reglas. Por ejemplo: ¿Cuántas comparaciones debemos hacer para hallar el mayor número de una lista dada?. ¿Cuántas clavesde acceso a un cajero automático hay, sabiendo que constan de cuatro dígitos que pueden repetirse, elegidos entre 0, 1, ..., 9? Cuando tenemos que realizar una tarea podemos preguntarnos: ¿De cuántas formas se puede realizar dicha tarea? ¿Cómo proceder para realizar una tarea de todas las formas posibles? ¿Cuál es la mejor forma de realizar esa tarea propuesta? Descontando que no tendría muchoéxito cualquier intento para encuadrar la definición de Combinatoria dentro de una definición rígida, podríamos describirla brevemente, como la técnica, habilidad o arte de contar, sin que necesariamente debamos enumerar. En el análisis de los problemas de Combinatoria está presente la esencia misma de la matemática: su función ordenadora del pensamiento, su misión de abstraer y generalizar, dereconocer lo común en lo aparentemente distinto, su finalidad primordial de desarrollar métodos y estrategias para la resolución de problemas. 23

Algunos problemas pueden ser fáciles de enunciar pero tan difíciles de resolver que a veces las soluciones no aparecen por largos años a pesar del esfuerzo de los matemáticos. La Combinatoria no tiene un método sistemático y único de resolución y tieneescasos resultados generales. Sin embargo, cuando nos enfrentemos a un problema, veremos que si sabemos sumar y multiplicar adecuadamente, estaremos contando con las primeras estrategias para poder solucionarlo. Cuando son muchos los elementos que aparecen en juego, resulta conveniente comenzar el planteo con dos elementos para estudiar su comportamiento, luego con tres y así, sucesivamente, viendo sies posible sacar una regla general para todos los elementos. Otras veces, un diagrama que resuma gráfica y esquemáticamente la situación dada, proporciona una ayuda para su solución.

REGLAS DE LA SUMA Y DEL PRODUCTO El estudio de la Combinatoria comienza con dos principios básicos del conteo: las reglas de la suma y del producto. Son sencillas sus aplicaciones iniciales. Regla de la suma: Siun experimento se puede separar en el, e2,....,en etapas excluyentes y hay m1, m2,....,mn resultados posibles para cada una de ellas, respectivamente, entonces el experimento puede realizarse de m1 + m2 +..... + mn maneras. Regla del producto: Si un experimento se puede separar en el, e2,....,en etapas no excluyentes y hay m1, m2,...., mn resultados posibles para cada una de ellas, respectivamente,entonces el experimento tiene m1 x m2 x..... x mn maneras. Estas reglas básicas permiten resolver diversos problemas iniciales, tales como: Problema 1: En un lenguaje de programación un identificador consta de una letra seguida o no de hasta tres símbolos que pueden repetirse. (Se supone que el computador no distingue letras minúsculas de mayúsculas y que los símbolos pueden ser letras o...