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UNIVERSIDAD DE VALLADOLID

MÉTODOS NUMÉRICOS TIPO RUNGE-KUTTA-NYSTRÖM PARA LA INTEGRACIÓN EFICIENTE DE PROBLEMAS OSCILATORIOS

Amelia García Garrosa
Tesis doctoral

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA 2001

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA A LA INGENIERIA Tesis doctoral Autor: D˜a. Amelia Garc´ Garrosa n ıa Director: Dr. D. Pablo Mart´Ord´nez ın o˜ Dra. Da. Ana Bel´n Gonz´lez Mart´ e a ınez T´ ıtulo: M´todos num´ricos tipo Runge-Kutta-Nystr¨m para e e o la integraci´n eficiente de problemas oscilatorios. o Tribunal Presidente: Vocales: Dr. D. Jos´ Manuel Ferr´ndiz Leal e a Universidad de Alicante Dr. D. Juan Getino Fern´ndez a Universidad de Valladolid Dr. D. Antonio Vigueras Campuzano Universidad Polit´cnica de Cartagena e Dr. D.Manuel Palacios Latasa Universidad de Zaragoza Secretario: ´ Dr. D. Jos´ Miguel Farto Alvarez e Universidad de Valladolid

Fecha de lectura: 30 de noviembre de 2001. Calificaci´n: SOBRESALIENTE CUM LAUDE. o

Contenido

Agradecimientos Introducci´n o

iii v

1 M´todos de un paso para la integraci´n de ecuaciones e o de segundo orden 1 1.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . o 1 1.2 M´todos Runge-Kutta-Nystr¨m . . . . . . . . . . . . . e o 2 1.3 M´todos RKGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4 2 Nuevos m´todos tipo Runge-Kutta-Nystr¨m. e o 11 2.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 o 2.2 Nuevos m´todos especiales para e problemas oscilatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.1 Discusi´n de m´todos de ordenoscilatorio cinco 20 o e 2.2.2 Discusi´n de m´todos de orden oscilatorio seis . 24 o e 2.2.3 Experimentos num´ricos . . . . . . . . . . . . . 25 e 2.3 M´todos RKNh2 . Propiedades . . . . . . . . . . . . . . 31 e 2.3.1 Formulaci´n general . . . . . . . . . . . . . . . 31 o 2.3.2 Error de truncaci´n local . . . . . . . . . . . . . 33 o 2.3.3 Condiciones de orden para un m´todo e 2 RKNh p : q . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 39 2.4 M´todo RKNh2 4:5 ´ptimo . . . . . . . . . . . . . . . . 40 e o 3 M´todos de paso variable e 49 3.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 o 3.2 Construcci´n de un par encajado o 2 RKNh 4:6(3:4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3 Experimentos num´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 e i

ii

Contenido

4M´todos RKNh2 de orden alto e 69 4.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 o 4.2 Teor´ de ´rboles para los m´todos RKNh2 . . . . . . . 70 ıa a e ´ 4.2.1 Arboles especiales de Nystr¨m . . . . . . . . . . 70 o 4.2.2 Derivadas de la funci´n f . . . . . . . . . . . . 72 o 4.2.3 Derivadas de los valores ki . . . . . . . . . . . . 74 4.2.4 Condiciones de orden. Error de truncaci´nlocal 77 o ´ 4.2.5 Arboles para un oscilador no perturbado. Condiciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2.6 Condiciones de orden para m´todos e RKNh2 p : q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2.7 Condiciones simplificadoras . . . . . . . . . . . 87 4.3 Un m´todo RKNh2 de paso variable y orden 8 . . . . . 96 e 4.3.1 Construcci´n del m´todo de orden 8 . . . . . . 96 o e4.3.2 Construcci´n del m´todo de orden 6 . . . . . . 103 o e 4.3.3 Experimentos num´ricos. . . . . . . . . . . . . . 108 e Bibliografa 119

Agradecimientos
El presente trabajo ha sido realizado bajo la direcci´n de los profesores o Pablo Mart´ Ord´nez y Ana Bel´n Gonz´lez Mart´ ın o˜ e a ınez, a quienes debo agradecer la propuesta del tema, su labor de direcci´n y su enorme o paciencia y est´ımulo en todo momento. ´ Tambi´n quiero citar a los profesores Jos´ Miguel Farto Alvarez y e e David Javier L´pez Medina, tanto por sus comentarios y correcciones o a lo largo del trabajo, como por la confianza que siempre depositaron en m´ ı. Quiero hacer constar que esta memoria ha sido realizada con la ayuda financiera de la Junta de Castilla y Le´n bajo el proyecto o VA11/99 y del Ministerio de...