Redes

La Tierra ejerce una fuerza de atracción sobre los cuerpos próximos a la superficie

FÍSICA GENERAL

1.

Vectores y sus Aplicaciones

Vectores son convenientes para estudiar Álgebra, Geometría y Cálculo Diferencial; teniendo gran importancia en la representación de cantidades físicas que poseen longitud y dirección tales como fuerza, velocidad, aceleración, etc; comúnmente tratados enFísica teórica e Ingeniería, especialmente en Mecánica Sólida, Teoría de Fluídos y Electrostática.

1.1. Vectores en el Plano y el Espacio

El plano euclideano (o plano xy ) es el conjunto R2 := {( x, y) : x, y ∈ R} . Representamos un elemento ( x0 , y0 ) ∈ R2 mediante en la figura

y

y0

( x0, y0)

x
(0,0)

x0

La coordenada x0 se llama abscisa, mientras que y0 es la ordenada. Elelemento (0, 0) es llamado origen de coordenadas. Nos acostumbraremos a denotar la proyección del punto ( x0 , y0 ) sobre el eje x simplemente por la abscisa x0 , aunque la manera correcta de escribir es el par ( x0 , 0). Igualmente, el punto y0 en el eje de ordenadas es una abreviación del par (0, y0 ).

Ejemplo 1.1.

Al ubicar los puntos del plano (−2, 2) y (4, −2), se tiene

y
(-2,2)

x(4 , - 2 )

Similarmente definimos el espacio euclideano R3 := {( x, y, z) : x, y, z ∈ R} . Un elemento ( x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 es representado como sigue

z
z0

( x0 , y0, z0)

y
y0 x0

x
En este caso, el origen de coordenadas es (0, 0, 0). El plano conteniendo los ejes x e y es llamado plano xy, el plano conteniendo los ejes x y z es llamado plano xz y el plano conteniendo los ejesy y z es llamado plano yz; éstos son llamados planos coordenados. 2

Ejemplo 1.2.

Al graficar los puntos (3, 6, 4) y (3, −3, 5), obtenemos

z
(3,6,4) (3,-3,5)

y

x

En lo que sigue y por lo general, Rn significará R2 o R3 . Los elementos de Rn son llamados puntos o vectores; el primer concepto siendo geométrico, mientras que el segundo concepto es más físico. Como puntosrepresentamos tales elementos por las letras A, B, C, . . . , etc; y como vectores denotamos por las letras a, b, c, . . . , u, v, w, etc. Destacamos aquí la notación para el origen de coordenadas (0, 0) o (0, 0, 0) por O (visto como punto) y por 0 (visto como vector). Debemos tener presente que dos puntos A = ( x1 , y1 ) y B = ( x2 , y2 ) son iguales y denotamos A = B si y sólo si x1 = x2 e y1 = y2 . Demanera similar, para puntos en R3 : dos puntos A = ( x1 , y1 , z1 ) y B = ( x2 , y2 , z2 ) son iguales y denotamos A = B si y sólo si x1 = x2 , y1 = y2 y z1 = z2 . Para facilitar nuestra intuición geométrica, los vectores serán pensados como flechas dirigidas con punto inicial y punto final. Por ejemplo, el vec− → tor posición OP := p es representado por la flecha dirigida con punto inicial O y puntofinal P. Muchas veces expresaremos “sea el punto p” para referirnos al punto final del vector posición p. 3

LEYES DE COULOMB Y DE NEWTON

L EY DE C OULOMB Un punto con carga q está situado en el origen. Una segunda carga q′ se localiza en el punto ( x, y, z) como se muestra en la figura

z

r ] q (x,y,z) r q

´

y

x
A continuación expresaremos la fuerza eléctrica sobre q′ en su formavectorial y en su forma rectangular: sabemos que la fuerza eléctrica dada por la Ley de Coulomb se ejerce en la dirección de la recta que conecta las dos cargas, y su atracción o repulsión depende de los signos de q y q′ . Esto se resume en la fórmula k e qq′ ˆ (1.1) f q′ = 2 r r donde k e = 1/(4πϵ0 ) ≈ 9 × 109 en unidades SI. Note que si q y q′ tienen ˆ cargas con signos distintos, qq′ < 0 y fq′tiene dirección opuesta a r (esto significa que se atraen). Por otro lado, si q y q′ tienen el mismo signo, qq′ > ˆ 0 y fq′ tiene la misma dirección que r (esto significa que se repelen). La expresión (1.1) expresa a fq′ en su forma vectorial. Finalmente, para expresar la ecuación (1.1) en su forma rectangular notemos que r = √ 1 ˆ x2 + y2 + z2 y r = ( x, y, z), luego r fq′ = k e qq′

( x2 + y2...