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REGLA DE LA CADENA PARA DERIVAR FUNCIONES COMPOSICIÓN

Del enunciado “Regla de la cadena”, la palabra “Cadena” se refiere a las funciones que se componen de otras funciones, es decir, como sifueran los eslabones de una cadena, por ejemplo:

Si [pic] y [pic], se puede expresar como una función compuesta:

[pic]

Lo anterior, también se denomina “función de función”,ya que “y” no está definida como función de “x” en forma directa, sino que se presenta como función de otra variable “u” que se define como función de “x”.

Regla de la cadena.- Para determinar[pic] de la función compuesta es necesario considerar a las dos funciones en forma individual y derivarlas de igual manera, es decir: “Si [pic] es una función diferenciable de u y [pic] es una funcióndiferenciable de x que es igual al producto de la derivada de y con respecto a u por la derivada de u con respecto a x”

[pic]

También se expresa por: [pic]

EJEMPLOSDEMOSTRATIVOS

Aplicando la regla de la cadena, hallar [pic] para la siguiente función composición.

1. [pic] [pic]

[pic] [pic]

[pic] [pic]
[pic]

[pic] [pic] Alsustituir “u” en el resultado, tenemos:

[pic]

2. Hallar [pic] para [pic] donde [pic] ; derivando tenemos:

[pic] [pic]

[pic][pic] Sustituyendo “u” en el resultado,se tiene que:

[pic]

DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS

Formas explícitas e implícitas de una función.- Las ecuaciones en dos variables se expresan generalmente en forma“explícita”, es decir, una de las dos variables se da explícitamente en términos de la otra; por ejemplo:

a) [pic] b) [pic] c) [pic]

Las ecuaciones están resueltas para y, u y s comofunciones explícitas de x, v, y t, respectivamente. Cuando se presenta una relación entre dos variables por medio de una ecuación no explícita para ninguna variable, entonces una de ellas es función...