Reduccion de Ecuaciones Diferenciales Segundo Orden



UNIVERSIDAD DE CUENCA




FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS
ESCUELA DE INGENIERÍA QUÍMICA
ECUACIONES DIFERENCIALES

Tema: Ecuaciones Diferenciales con reducción de orden.Reducción de orden
Al resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, es natural preguntarse si ellas pueden de alguna manera ser reducidas a ecuaciones de primer orden, las cuales puedan asu vez ser resueltas por alguno de los métodos estudiados hasta el momento. Realmente existen dos tipos importantes de ecuaciones de orden superior que pueden resolverse fácilmente de esta manera.Como hemos visto, una ecuación diferencial de segundo orden puede escribirse en la forma , ahora analizaremos dos tipos especiales de estas ecuaciones que pueden resolverse por medio de una reducciónde orden.
1. Reducción de orden cuando la ecuación es homogénea en (Y) y (dy):
Si  no está presente en la ecuación diferencial, esta se puede escribir como

Del mismo modo que en el caso anterior,introducimos el cambio de variable , pero ahora expresamos  en términos de una derivada respecto de 

Esto nos permite escribir la ecuación  en la forma

Ahora encontramos la solución de laecuación, luego sustituimos en ésta solución  por  y resolvemos la ecuación resultante.




Ejemplo: 
Resuelva la ecuación diferencial

Solución : 
Haciendo  podemos escribir la ecuación dada comoSeparando variables e integrando

Separando variables

Integrando

Despejando  y renombrando las constantes, esta solución puede escribirse como










2. Reducción de ordencuando la ecuación es homogénea en (X) y (dx):
Si  no aparece explícitamente en la ecuación diferencial, es decir, nuestra ecuación tiene la forma

En tal caso, introducimos el cambio de variableEsta sustitución transforma la ecuación en una ecuación diferencial de primer orden

(1.15)
Ahora, si logramos encontrar una solución para la ecuación podemos sustituir en ella  por  e intentar...