Reducibilidad

6. REDUCIBILIDAD

• Se dice que un problema L1 se reduce en tiempo polinomial determinístico a otro problema L2, si asumiendo que existe un algoritmo A2 en P que resuelve L2 es posible construir un algoritmo A1 en P que resuelva L1.
• Escribiremos L1 W L2 para significar que L1 se reduce a L2. Intuitiva: Una problema P1 se reduce polinomialmente a otro problema P2, si existe un algoritmo quetransforme una instancia del problema P1 en una instancia del problema P2 en tiempo polinomial determinístico.
Ejemplo
• Ordenar se reduce a encontrar el menor
• Sabemos que existe Menor (i; j), que devuelve el elemento menor del segmento del arreglo A [i, j].
Ejemplo
PROCEDIMIENTO Ordena(A; n)
COMIENZA
PARA i =1 A n HAZ
j = Menor (i; n)
Intercambia (i; j)
FINPARA
TERMINA6.1 PROBLEMAS INSOLUBLES
Sea el problema Palguna el siguiente problema:
Pacept: ¿Existe un procedimiento efectivo capaz de determinar si una máquina de Turing se detiene sobre alguna cadena?
Para demostrar que Palguna no es soluble, comenzaremos suponiendo que lo es, llegando de esta manera a un absurdo. Este absurdo tendrá lugar debido a que la solubilidad de Palguna implica la solubilidadde Pdet. Expresado de otra manera, demostramos que Pdet se reduce a Palguna. Demostración:
Supongamos que Palguna es un problema de decisión soluble. Al ser un problema soluble, entonces existe un procedimiento efectivo (o máquina universal de Turing), Alguna, que resuelve Palguna. Alguna toma como datos de entrada la descripción de una máquina de Turing T y determina en un tiempo finito si Tse detiene sobre alguna cadena o no. Es decir Alguna recibe como entrada (T) y retorna un 1 si T se detiene para alguna cadena, mientras que devuelve la salida 0 si T no se detiene para ninguna cadena. Construyamos a partir de Alguna, un procedimiento efectivo (o máquina universal de Turing)
Detención
La máquina Detención recibe como entrada un par (T’, α), el problema Palguna solo tienecomo entrada una máquina de Turing, por lo que necesitamos un proceso adicional que combine T’ y α de manera que las respuestas de Alguna, respondan el problema de la detención. Este proceso adicional se lleva a cabo en la máquina universal ΔX que realiza lo siguiente:
a. Recibe como dato de entrada la máquina de Turing T’ y la cadena α.
b. Construye una máquina de Turing T tal que:
i. Parala cadena α se comporta como la máquina de Turing T’.
j. Para toda cadena que no sea α la nueva máquina T nunca se detiene o cicla indefinidamente.
Combinando las máquinas universales Alguna y ΔX, tenemos la máquina universal Detención que tiene el siguiente comportamiento:
1. Detención recibe como entrada el par (T’, α).
2. La máquina universal Detención utiliza ΔX, la cual a partirde T’ y α construye la nueva máquina de Turing T.
3. La máquina de Turing T obtenida en el paso anterior es ingresada a la máquina universal Alguna.
4. Si la respuesta de Alguna es 1 entonces T se detiene para alguna cadena. De la manera en la que construimos T esa cadena necesariamente es la cadena α (ya que para el resto sabemos que la máquina siempre cicla) como el comportamiento de Tfrente a la cadena α es el mismo que tiene la máquina T’ entonces podemos afirmar que T’ se detiene sobre α y que por lo tanto Detención emite un 15. Si la respuesta de Alguna es 0 entonces T no se detiene para ninguna cadena. De la manera en la que construimos T la única cadena sobre la que T podía detenerse era α y que el comportamiento frente a esta cadena era el mismo que el de la máquina T’.Podemos entonces afirmar, que la máquina de Turing T’ tampoco se detiene frente a la cadena y que por lo tanto la respuesta que emite Detención es igual a 0.
Conclusión:
• La máquina universal Detención retorna 1 (T’ se detiene sobre α) si Alguna retorna 1 (T se detiene sobre alguna cadena).
• La máquina universal Detención retorna 0 (T’ no se detiene sobre α) si Alguna retorna 0 (T se...