Referencia bibliograficas

Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´tica a CONARE-PROYECTO RAMA

Geometr´ ıa

Randall Blanco B

Temas de pre-c´lculo a

I ciclo 2007

Geometr´ ıa

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´ Indice
1. Pol´ ıgonos y regiones poligonales 1.1. Tri´ngulos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.2. Tri´ngulos rect´ngulos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . a a 1.3. Razones trigonom´tricasde un ´ngulo agudo en un tri´ngulo e a a rect´ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.4. Paralelogramos y no paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Algunos teoremas sobre pol´ ıgonos 3 3 4 6 8

1.5. Pol´ ıgono de n lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7. F´rmulas de ´rea de figuras planas . . . . . . . .. . . . . . . 13 o a 1.8. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. C´ ırculo y circunferencia 23

2.1. Definiciones y teoremas b´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 a ´ 2.2. Angulos en el c´ ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3. Regiones circulares: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4. Ejemplos . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3. S´lidos o 39

3.1. Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2. Cilindros circulares rectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3. Conos circulares rectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4. La esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.5. Ejemplos . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4. Ejercicios 47

4.1. Nivel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2. Nivel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.3. Nivel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

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Introducci´n o
El presente material consta de un resumen de algunos de losresultados de geometr´ estudiados en secundaria que son utiles para enfrentarse a nuevos ıa ´ conceptos y a ejercicios de los primeros cursos de Matem´tica de la educaci´n a o superior. No se presenta aqu´ un desarrollo riguroso de cada resultado, m´s bien, un ı a listado de definiciones y teoremas (sin demostraciones) seguido de una serie de ejercicios resueltos que puedan ser utiles pararesolver, posteriormente, los ´ ejercicios t´ ıpicos de un curso de c´lculo I. a

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1.
1.1.

Pol´ ıgonos y regiones poligonales
Tri´ngulos semejantes a

Intuitivamente se puede decir que dos tri´ngulos son semejantes si tienen a la misma forma (aunque no necesariamente el mismo tama˜o). Se dice que dos n tri´ngulos son semejantes si las medidas de los tres pares de ladoshom´logos a o son proporcionales y los ´ngulos hom´logos son congruentes, es decir: a o

ABC ∼

  AB = BC = AC    DE EF DF   ∠ABC ∼ ∠DEF = DEF ⇐⇒   ∠CAB ∼ ∠F DE  =    ∠BCA ∼ ∠EF D =

Cuando se determina una semejanza entre dos tri´ngulos, a cada lado a de uno de ellos se le hace corresponder un lado del otro tri´ngulo. De igual a manera, a cada ´ngulo se le hace corresponder un ´ngulodel otro tri´ngulo. a a a A estos pares de lados o pares de ´ngulos que se corresponden de acuerdo a con la forma, se les llama hom´logos o correspondientes. Por ejemplo, en la o figura anterior, decimos que A es el ´ngulo hom´logo al ´ngulo D (el ∠B al a o a o ∠E y el ∠C al ∠F ) y el lado AB es el hom´logo al lado DE( AC al DF y CB al F E ) Sin embargo, para poder concluir que un par de tri´ngulosson semejantes a no es necesario verificar que se cumplen todas estas condiciones, sino que es suficiente con algunas de ellas:

Geometr´ ıa ´ Postulado Lado - Angulo - Lado

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Si dos pares de lados hom´logos de dos tri´ngulos son proporcionales y o a el par de ´ngulos determinados por esos lados son congruentes entonces los a tri´ngulos son semejantes: a  BC  AB  = DE EF DEF ⇐⇒  ...