referencia personal

TEMA 1

MATEMÁTICA 2 5º AÑO

PROFESOR: ADRIÁN MILANO

INTRODUCCIÓN A LOS CONJUNTOS
NUMÉRICOS
Nos limitaremos a continuación a recordar los distintos conjuntos numéricos como los naturales, enteros, racionales,
irracionales y reales y a recopilar las principales propiedades que los caracterizan.

LOS NÚMEROS NATURALES
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ...,20 , 21, ...., 143, ........... son númerosnaturales

Los números

El conjunto cuyos elementos son todos los números naturales se representa con el símbolo:

N

Entre los números naturales están definidas dos operaciones que son la adición y la multiplicación. A cada pareja
y b de números naturales estas operaciones asocian un único número natural, la adición un número natural, que
anotamos: a  b y que llamamos suma de a y b yla multiplicación el número natural, que anotamos a  b o
y que llamamos producto de a por b
El hecho de que la suma y el producto de dos números naturales es un número natural se expresa diciendo que el
conjunto de los números naturales es cerrado frente a las operaciones adición y multiplicación.

a

ab

A partir de la adición de números naturales se puede definir una relación de ordenentre ellos de la siguiente manera:
si a y b son dos números naturales, decimos que a es menor que b y anotamos a  b si existe algún número
natural p tal que b  a  p . Bajo estas mismas condiciones decimos que b es mayor que a y anotamos b  a
La notación a  b significa que
mayor o igual que b .

a es menor o igual que b y la notación a  b quiere decir que a es

A partir de la adicióny la multiplicación entre números naturales pueden definirse dos nuevas operaciones: la
sustracción y la división de números naturales.
Dados dos números naturales a y b con a  b llamamos resta o diferencia de a entre b al único número
natural x , que anotaremos x  a  b , que cumple: a  x  b . Realizar la sustracción de a y b significa hallar
el natural x  a  b cuando a  b
Recalcamosel hecho de que si trabajamos con el conjunto de los números naturales, el símbolo a  b sólo tiene
sentido cuando a  b
Dados dos números naturales a y b .
Decimos que b es un múltiplo de a si existe un número natural c tal que b  a  c
Si b  0 y b es un múltiplo de a , llamamos cociente de a entre b al único número natural

q , que anotaremos
a
a
q  , que cumple a  b  q En estecaso, efectuar la división de a entre b significa hallar el natural q 
b
b

Observar lo siguiente:
1) Si b  0 y a  0 la igualdad
2) Si

b0

y

a0

la igualdad

a  bq
a  bq

se verifica para cualquier natural
no es verificada por ningún

Estos dos motivos nos llevan a dejar sin sentido la división entre

0

q

q , perdiendo así la unicidad de q

.

natural.y por tanto excluir expresiones de la forma

a
0

El hecho que dados dos números naturales a y b no siempre es posible hallar un número natural x tal que
a  x  b o un número natural q tal que a  b  q (por ejemplo, no existe un número natural x tal que 3  x  2 ,
como así tampoco existe un número natural q tal que
números enteros y los números racionales.

3  5  q ) genera lanecesidad de introducir nuevos números: los
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TEMA 1

MATEMÁTICA 2 5º AÑO

PROFESOR: ADRIÁN MILANO

LOS NÚMEROS ENTEROS
Los números

......  12697 ........  3 ,  2 ,  1 , 0 ,1 , 2 , 3, 4 ,..........1765.... son números enteros.

El conjunto cuyos elementos son todos los números enteros se representa con el símbolo: Z
Dado que cada número entero queda definido por la resta a  b dedos números naturales a y b , podemos afirmar
que un número entero queda determinado por una pareja ordenada de números naturales (a, b)
Cuando a  b , a  b es un entero positivo (o número natural) y cuando a  b , a  b es un entero negativo
Por ejemplo, la pareja (1,3) define al entero  2 ,  2  1  3 y la pareja (3,1) al entero 2
A su vez las parejas

(1,3)

y

(3,5)

definen...