Reflexión histórica, epistemológica y didáctica del concepto de funcion cuadràtica

REFLEXIÓN HISTÓRICA, EPISTEMOLÓGICA Y DIDÁTICA DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN CUADRÁTICA

Yadira M. MESA, Jhony A. VILLA Universidad de Antioquia, Medellín, Colombia e-mail yadiramarcelamesa@yahoo.es, javo@une.net.co

RESUMEN
El concepto de función ha sido considerado como un elemento fundamental para la construcción de pensamiento matemático, en gran parte por las múltiples aplicaciones en lamodelización de situaciones de variación relativas a contextos cotidianos y a las demás ciencias. En este artículo, se presentan los avances de un proyecto de investigación en el que pretende diseñar una propuesta didáctica mediante la cual se pueda construir el concepto de función cuadrática vía la modelización de fenómenos de variación. Se presentan particularmente avances del proyecto en cuanto alrastreo histórico y algunos elementos que pueden ser tenidos en cuenta en el momento de construir una didáctica del concepto de función cuadrática.

INTRODUCCIÓN
En esta propuesta se pretende mostrar cómo desde la historia se pueden esgrimir algunos elementos de tipo epistemológico que se convierten en herramientas para la construcción didáctica del concepto de función cuadrática al interiordel aula de clase. Para el rastreo histórico se recurrió a diversas fuentes primarias y secundarias (Salkind 1999, p. 207) con las cuales se pudo determinar que las nociones asociadas a lo “cuadrático” atravesaron por al menos cuatro momentos, a saber: Las ecuaciones, las cónicas, la cinemática y las funciones. En cada una de estas etapas se presentan los hallazgos relativos a las situaciones queinvolucraron nociones cuadráticas de manera tal que se evidencie la presencia posibles obstáculos y fases importantes en su construcción de manera que posibiliten una comprensión de la actividad educativa en el aula de clase.

GENÉSIS HISTÓRICA DE LAS NOCIONES CUADRÁTICAS.
Son varias las culturas que manifestaron una consideración de situaciones cuadráticas y las emplearon, en este caso se van aemplear aquellas que permiten evidenciar hitos en su construcción a partir de procedimientos.

ECUACIONES
El concepto de ecuación es uno de los más importantes del análisis matemático actual, y ha estado presente a través de la historia en diversas culturas. Por ejemplo:

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Babilonia: En esta cultura las “nociones cuadráticas” se encontraron asociadas a situaciones en donde el concepto decuadrado tenía una concepción aritmética con ciertos niveles básicos de generalización tal como se observa en la siguiente situación: “Hallar un número tal que sumado a su inverso dé un número dado” que conduce a una ecuación cuadrática Kline (1972, 26). La geometría no tuvo un lugar trascendental en el desarrollo de la matemática babilónica, sin que ello no quiera decir que no se recurría arepresentaciones geométricas. Estas representaciones no fueron trabajadas con la rigurosidad que caracterizó más adelante a la cultura griega como se verá a continuación. (Kline 1972, p 29) Grecia: Sin lugar a duda los griegos marcaron un hito aún más especial en la construcción de las nociones cuadráticas. Se puede hablar en la cultura griega dos aspectos: uno de carácter aritmético y el otrogeométrico. Con respecto a lo aritmético, la escuela pitagórica establece razonamientos numéricos para sucesiones y progresiones, haciendo un empalme con la geometría en relación con los números figurados. Se observa también en sus trabajos cierta captación de algunas variaciones y predicciones a través de pequeños incrementos. Por su parte lo geométrico, tiene como representante a Euclides quien en losElementos ofrece una noción más estructurada del concepto de cuadrado desde una perspectiva geométrica. El cuadrado se da a conocer en los siguientes términos: “…de entre las figuras cuadriláteras, cuadrado es la que es equilátera y rectangular…”. Según Puertas (1999, p.96) “…para dibujar un cuadrado [Euclides] a partir de un lado la
expresión dada es anagrápsai apó (…) que indica la acción de...